Pour une application (ou opérateur) $T: X \to Y$, son graphe est un sous-ensemble de l’espace produit $X \times Y$ défini par : $$ \text{Graph}(T) = \{ (x, T(x)) \in X \times Y \mid x \in X \} $$
- Une propriété de base de l’analyse est que si $T$ est une application continue entre deux espaces « raisonnables » (par exemple, des espaces métriques), alors son graphe est un ensemble fermé dans $X \times Y$.
- La question naturelle est la réciproque : si le graphe d’un opérateur linéaire $T$ est fermé, peut-on en conclure que $T$ est continu ?
- En général, la réponse est non. Cependant, le théorème du graphe fermé affirme que si les espaces de départ et d’arrivée sont des espaces de Banach, alors la réponse est oui.
Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, et soit $T: X \to Y$ un opérateur linéaire.
L’opérateur $T$ est continu (ou borné) si et seulement si son graphe est fermé dans l’espace produit $X \times Y$.
Concrètement, « le graphe est fermé » signifie que pour toute suite $(x_n)$ dans $X$ qui converge vers $x$, si la suite des images $(T(x_n))$ converge vers un certain $y$ dans $Y$, alors on doit avoir $y = T(x)$.
Lien avec le Théorème de l’Application Ouverte
Le théorème du graphe fermé est en fait une conséquence assez directe du théorème de l’application ouverte. La démonstration est un bel exemple de la manière dont ces théorèmes fondamentaux s’articulent les uns avec les autres.
- On suppose que le graphe $G = \text{Graph}(T)$ est fermé. Puisque $X$ et $Y$ sont des espaces de Banach, $G$ est aussi un espace de Banach (car un sous-espace fermé d’un Banach est un Banach).
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On considère deux applications de projection naturelles :
- $\pi_1: G \to X$ définie par $\pi_1(x, T(x)) = x$.
- $\pi_2: G \to Y$ définie par $\pi_2(x, T(x)) = T(x)$.
- L’application $\pi_1$ est bijective (un $x$ a une seule image). Étant une application linéaire, continue et bijective entre deux espaces de Banach ($G$ et $X$), le théorème de l’application ouverte (ou plutôt son corollaire, le théorème de l’isomorphisme de Banach) nous dit que sa réciproque $\pi_1^{-1}: X \to G$ est aussi continue.
- L’opérateur $T$ peut s’écrire comme la composition $T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1}$.
- Puisque $T$ est la composée de deux applications continues ($\pi_1^{-1}$ et $\pi_2$), elle est elle-même continue.
Importance et Utilité
- Un critère pratique de continuité : Dans de nombreuses situations, il est beaucoup plus simple de vérifier que le graphe d’un opérateur est fermé que de prouver directement sa continuité (c’est-à-dire qu’il est borné).
- Équivalence des grands théorèmes : Ce théorème est logiquement équivalent au théorème de l’application ouverte. L’un peut être utilisé pour prouver l’autre. Ils forment, avec le principe de la borne uniforme, le cœur de l’analyse fonctionnelle sur les espaces de Banach.
- Théorème de Hellinger-Toeplitz : Une application célèbre en physique mathématique est le théorème de Hellinger-Toeplitz, qui affirme que tout opérateur symétrique défini sur tout un espace de Hilbert est nécessairement continu. La preuve utilise directement le théorème du graphe fermé.