Application à la Résolution d’Équations
L’une des applications les plus directes et puissantes du théorème du point fixe est la résolution d’équations. La méthode consiste à transformer une équation, qui peut être difficile à résoudre directement, en un problème de point fixe pour lequel on peut appliquer le principe des approximations successives.
La Méthode Générale
Pour résoudre une équation de la forme $g(x) = 0$ ou $h(x) = x$, on suit les étapes suivantes :
- Transformer l’équation : On réécrit l’équation sous la forme d’un problème de point fixe $f(x) = x$. Il peut y avoir plusieurs manières de le faire.
- Choisir le bon espace : On identifie un espace métrique complet $X$ sur lequel on va travailler. Souvent, il s’agit d’un intervalle fermé de $\mathbb{R}$.
- Vérifier la stabilité : On s’assure que l’espace $X$ est stable par $f$, c’est-à-dire que pour tout $x \in X$, on a aussi $f(x) \in X$.
- Vérifier la contraction : On démontre que la fonction $f$ est contractante sur $X$. Pour les fonctions d’une variable réelle, cela revient souvent à montrer que $|f'(x)| \le k < 1$ sur l'intervalle $X$.
- Appliquer l’algorithme : Une fois les conditions vérifiées, le théorème de Banach garantit l’existence et l’unicité d’une solution. On peut l’approcher numériquement en choisissant un point initial $x_0 \in X$ et en calculant les termes de la suite $x_{n+1} = f(x_n)$.
Exemple Détaillé
Cherchons à résoudre l’équation $x^2 – x – 1 = 0$ pour $x > 0$. La solution est le nombre d’or, $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
- 1. Transformation : On peut réécrire l’équation $x^2 – x – 1 = 0$ comme $x = 1 + \frac{1}{x}$. On pose donc $f(x) = 1 + \frac{1}{x}$.
- 2. Choix de l’espace : On sait que la solution est autour de 1.6. Essayons de travailler sur l’intervalle $X = [1.5, 2]$. C’est une partie fermée de $\mathbb{R}$, donc c’est un espace métrique complet.
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3. Stabilité : La fonction $f(x)$ est décroissante sur $X$. On calcule les images des bornes :
- $f(1.5) = 1 + 1/1.5 = 1 + 2/3 \approx 1.667$
- $f(2) = 1 + 1/2 = 1.5$
- 4. Contraction : On calcule la dérivée : $f'(x) = -1/x^2$. Pour $x \in [1.5, 2]$, on a : $$ |f'(x)| = \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{(1.5)^2} = \frac{1}{2.25} \approx 0.44 $$ On peut donc prendre $k = 1/2.25 < 1$. La fonction est bien contractante sur $X$.
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5. Algorithme : Les conditions sont vérifiées. Partons de $x_0 = 1.5$.
- $x_1 = f(1.5) \approx 1.667$
- $x_2 = f(1.667) \approx 1.600$
- $x_3 = f(1.600) \approx 1.625$
- … La suite converge rapidement vers $\phi$.