Applications aux Équations Intégrales
Le théorème du point fixe de Banach trouve l’une de ses applications les plus élégantes et puissantes en analyse fonctionnelle pour prouver l’existence et l’unicité de solutions à certaines équations intégrales. L’idée est de réinterpréter l’équation intégrale comme un problème de point fixe dans un espace de fonctions.
Considérons une équation intégrale de Fredholm de seconde espèce, de la forme : $$ y(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) y(t) \,dt $$ Où :
- $y(x)$ est la fonction inconnue que l’on cherche.
- $f(x)$ et le « noyau » $K(x, t)$ sont des fonctions continues connues.
- $\lambda$ est un paramètre réel.
La Méthode du Point Fixe
La stratégie consiste à appliquer le théorème de Banach.
- Choisir l’espace : On travaille dans l’espace des fonctions continues sur $[a, b]$, noté $\mathcal{C}([a, b])$. Muni de la distance de la convergence uniforme $d_\infty(g, h) = \sup_{x \in [a, b]} |g(x) – h(x)|$, c’est un espace métrique complet.
- Définir l’opérateur : On définit un opérateur (une fonction qui transforme une fonction en une autre) $T$ par : $$ (Ty)(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) y(t) \,dt $$ L’équation intégrale se réécrit alors simplement comme un problème de point fixe : trouver $y$ tel que $Ty = y$.
- Montrer que $T$ est une contraction : Il reste à trouver des conditions sur $\lambda$ et $K$ pour que l’opérateur $T$ soit une application contractante sur $\mathcal{C}([a, b])$.
Condition de Contraction
Calculons la distance entre les images de deux fonctions $y_1$ et $y_2$ : $$ d_\infty(Ty_1, Ty_2) = \sup_{x \in [a, b]} \left| (Ty_1)(x) – (Ty_2)(x) \right| $$ $$ = \sup_{x \in [a, b]} \left| \lambda \int_a^b K(x, t) (y_1(t) – y_2(t)) \,dt \right| $$ $$ \le |\lambda| \sup_{x \in [a, b]} \int_a^b |K(x, t)| \cdot |y_1(t) – y_2(t)| \,dt $$ En majorant $|y_1(t) – y_2(t)|$ par $d_\infty(y_1, y_2)$, on obtient : $$ d_\infty(Ty_1, Ty_2) \le \left( |\lambda| \sup_{x \in [a, b]} \int_a^b |K(x, t)| \,dt \right) \cdot d_\infty(y_1, y_2) $$ L’opérateur $T$ est donc une contraction si la constante $k = |\lambda| \sup_{x \in [a, b]} \int_a^b |K(x, t)| \,dt$ est strictement inférieure à 1.
Conclusion : Si cette condition est remplie, le théorème du point fixe de Banach s’applique et garantit que l’équation intégrale admet une solution unique. De plus, on peut trouver cette solution en partant d’une fonction simple (par exemple $y_0(x) = 0$) et en itérant $y_{n+1} = Ty_n$. C’est la base de la méthode des approximations successives de Picard pour ces équations.