Contexte : Points Fixes et Contractions
Ce théorème donne des conditions suffisantes pour garantir l’existence et l’unicité d’un point fixe pour une certaine fonction.
- Un point fixe d’une fonction $T$ est un point $x^*$ tel que $T(x^*) = x^*$. Le point est « fixé » par l’application.
- Un espace métrique complet est un ensemble muni d’une distance, dans lequel toute suite de Cauchy (suite dont les termes se rapprochent indéfiniment les uns des autres) converge vers un élément de l’ensemble. $\mathbb{R}^n$ est l’exemple typique.
- Une application $T: X \to X$ est une contraction (ou est contractante) s’il existe une constante $k$ avec $0 \le k < 1$ telle que pour tous $x, y \in X$ : $$ d(T(x), T(y)) \le k \cdot d(x, y) $$ Une contraction "rapproche" systématiquement les points les uns des autres.
Théorème du Point Fixe de Banach
Soit $(X, d)$ un espace métrique complet non vide et soit $T: X \to X$ une application contractante.
Alors $T$ admet un unique point fixe $x^*$ dans $X$.
De plus, pour n’importe quel point de départ $x_0 \in X$, la suite $(x_n)$ définie par la relation de récurrence $x_{n+1} = T(x_n)$ converge vers ce point fixe $x^*$.
Démonstration (Constructive)
Contrairement à beaucoup de grands théorèmes d’existence, la preuve est constructive : elle fournit une méthode pour trouver le point fixe.
- Construction d’une suite : On part d’un point arbitraire $x_0 \in X$ et on construit la suite des itérés : $x_1 = T(x_0)$, $x_2 = T(x_1)$, …, $x_{n+1} = T(x_n)$.
- La suite est de Cauchy : En appliquant de manière répétée la propriété de contraction, on montre que la distance entre deux termes éloignés $d(x_n, x_m)$ devient aussi petite que l’on veut pourvu que $n$ et $m$ soient assez grands. La suite est donc une suite de Cauchy.
- Convergence : Puisque l’espace $X$ est complet, cette suite de Cauchy doit converger vers une limite, que l’on nomme $x^*$.
- La limite est un point fixe : On passe à la limite dans la relation $x_{n+1} = T(x_n)$. Comme $T$ est une contraction, elle est continue. On a donc : $$ x^* = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} T(x_n) = T\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = T(x^*) $$ Donc $x^*$ est bien un point fixe.
- Unicité : On suppose qu’il existe deux points fixes distincts, $p$ et $q$. Alors $d(p, q) = d(T(p), T(q)) \le k \cdot d(p, q)$. Comme $k < 1$, cette inégalité ne peut être vraie que si $d(p, q) = 0$, ce qui signifie $p=q$. Le point fixe est donc unique.
Applications Majeures
- Théorèmes d’existence et d’unicité : C’est l’outil principal pour prouver le Théorème de Cauchy-Lipschitz (parfois appelé Picard-Lindelöf) qui garantit l’existence et l’unicité de solutions à certaines équations différentielles ordinaires.
- Algorithmes numériques : La méthode itérative de la démonstration est le fondement de nombreux algorithmes pour résoudre numériquement des systèmes d’équations.
- Théorie des fractales : Il est utilisé pour prouver l’existence et l’unicité de l’attracteur d’un système de fonctions itérées (IFS), qui est la base de la construction de nombreuses figures fractales.