La Topologie de Zariski est un concept fondamental en géométrie algébrique, conférant une structure topologique intrinsèque aux ensembles définis par des polynômes. Cette topologie est cruciale pour l’étude des variétés algébriques et des schémas, offrant une perspective unique sur la notion de « proximité » des points.

Définitions Fondamentales de la Topologie de Zariski

Pour définir la topologie de Zariski, nous commençons par l’espace affine.

Espace Affine et Ensembles Algébriques Affines

Soit $K$ un corps algébriquement clos (par exemple, $\mathbb{C}$).

Définition 1.1 (Espace Affine) : L’espace affine de dimension $n$ sur $K$, noté $\mathbb{A}^n(K)$ ou simplement $\mathbb{A}^n$, est l’ensemble des $n$-uplets de $K$ :

$$ \mathbb{A}^n = K^n = \{ (a_1, \dots, a_n) \mid a_i \in K \} $$

Définition 1.2 (Ensemble Algébrique Affine) : Un sous-ensemble $V \subseteq \mathbb{A}^n$ est un ensemble algébrique affine (ou variété algébrique affine irréductible, si de plus elle vérifie certaines propriétés) si $V$ est l’ensemble des zéros communs d’une collection d’idéaux de polynômes. Plus formellement, pour un ensemble $S \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$ de polynômes, nous définissons :

$$ V(S) = \{ x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ pour tout } f \in S \} $$

Par convention, $V(\emptyset) = \mathbb{A}^n$ et $V(K[x_1, \dots, x_n]) = \emptyset$.

Définition 1.3 (Idéal Associé à un Ensemble) : Pour tout sous-ensemble $X \subseteq \mathbb{A}^n$, l’idéal de $X$, noté $I(X)$, est l’ensemble de tous les polynômes qui s’annulent sur $X$ :

$$ I(X) = \{ f \in K[x_1, \dots, x_n] \mid f(x) = 0 \text{ pour tout } x \in X \} $$

C’est un idéal dans l’anneau des polynômes $K[x_1, \dots, x_n]$.

Définition Formelle de la Topologie de Zariski

La topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n$ est définie en utilisant les ensembles algébriques affines comme ensembles fermés.

Définition 1.4 (Topologie de Zariski) : La Topologie de Zariski sur l’espace affine $\mathbb{A}^n$ est la topologie dont les ensembles fermés sont précisément les ensembles algébriques affines de $\mathbb{A}^n$. Un sous-ensemble $U \subseteq \mathbb{A}^n$ est dit ouvert de Zariski si son complément $\mathbb{A}^n \setminus U$ est un ensemble algébrique affine.

Théorèmes & Propriétés Clés

Les propriétés de la topologie de Zariski dérivent directement de sa définition.

Axiomes d’une Topologie

Pour que la collection des ensembles algébriques affines forme effectivement les fermés d’une topologie, trois axiomes doivent être vérifiés.

Théorème 2.1 : Les ensembles algébriques affines sur $\mathbb{A}^n$ satisfont les axiomes des fermés d’une topologie :

    • L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace entier $\mathbb{A}^n$ sont des ensembles algébriques affines.
    • L’intersection d’une collection arbitraire d’ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
    • L’union d’un nombre fini d’ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.

Preuve : Axiomes des fermés

Preuve : Nous devons vérifier les trois axiomes des fermés.

  • L’ensemble vide et l’espace entier sont fermés. En effet, l’ensemble vide est $V(\{1\})$ car le polynôme constant $1$ n’a pas de zéros. L’espace entier $\mathbb{A}^n$ est $V(\{0\})$ car le polynôme constant $0$ s’annule sur tous les points de $\mathbb{A}^n$.

  • Une intersection arbitraire de fermés est un fermé. Soit $\{V_i\}_{i \in I}$ une collection d’ensembles algébriques affines. Chaque $V_i$ est de la forme $V(S_i)$ pour un ensemble de polynômes $S_i$. L’intersection est donnée par :

    $$ \bigcap_{i \in I} V_i = \bigcap_{i \in I} V(S_i) = V\left(\bigcup_{i \in I} S_i\right) $$

    Ceci montre que l’intersection est bien un ensemble algébrique affine, donc un fermé de Zariski.

  • Une union finie de fermés est un fermé. Soient $V(S_1)$ et $V(S_2)$ deux ensembles algébriques affines. Nous avons :

    $$ V(S_1) \cup V(S_2) = V(\{fg \mid f \in S_1, g \in S_2\}) $$

    Plus généralement, pour une union finie $V(S_1) \cup \dots \cup V(S_m)$, cela est égal à $V(\{ f_1 \dots f_m \mid f_j \in S_j \text{ pour tout } j \})$. Ainsi, l’union finie est un ensemble algébrique affine. $\blacksquare$

Propriétés de la Topologie de Zariski

La topologie de Zariski possède des caractéristiques distinctes des topologies habituelles comme la topologie euclidienne.

Propriété 2.2 (Non-Séparation) : La topologie de Zariski n’est pas séparée (elle ne satisfait pas l’axiome $T_2$ de Hausdorff) pour $n \ge 1$. Autrement dit, pour deux points distincts $x, y \in \mathbb{A}^n$, il n’existe pas toujours d’ouverts disjoints $U_x, U_y$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.

Preuve : Considérons $\mathbb{A}^1 = K$. Les fermés propres non vides sont les ensembles finis de points. Tout ouvert non vide $U$ est le complément d’un ensemble fini de points, ce qui signifie que $U$ est infini. Soient $x, y \in K$ deux points distincts. Si $U_x$ et $U_y$ sont des ouverts contenant respectivement $x$ et $y$, alors $U_x \cap U_y$ est l’intersection de deux ensembles cofinis. Cette intersection est encore un ensemble cofini, donc elle est non vide. Par conséquent, $\mathbb{A}^1$ n’est pas Hausdorff. $\blacksquare$

Propriété 2.3 (Compacité) : Tout espace topologique muni de la topologie de Zariski est quasi-compact (chaque recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini). En effet, l’anneau $K[x_1, \dots, x_n]$ est noethérien. Cela implique que toute suite descendante d’ensembles fermés de Zariski stationne.

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Exemples & Contre-exemples de la Topologie de Zariski

Comprendre la topologie de Zariski nécessite des exemples concrets.

Exemples dans l’Espace Affine

Exemple 3.1 (Zariski sur la Droite Affine $\mathbb{A}^1$) : Dans $\mathbb{A}^1(K)$, les polynômes sont de la forme $f(x) \in K[x]$.

    • Les ensembles algébriques affines (fermé de Zariski) sont $\emptyset$, $\mathbb{A}^1$, et tous les ensembles finis de points. Par exemple, $V(x^2 – 1) = \{1, -1\}$ est un fermé. $V(x) = \{0\}$ est un fermé.
    • Les ouverts de Zariski non vides sont les complémentaires d’ensembles finis de points. Ce sont des ensembles « cofinis ». Par exemple, $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ est un ouvert. Tout ouvert non vide est dense et non séparé.

Exemple 3.2 (Zariski sur le Plan Affine $\mathbb{A}^2$) : Dans $\mathbb{A}^2(K)$, les polynômes sont $f(x, y) \in K[x, y]$.

  • Les fermés de Zariski sont :
      • $\emptyset$ et $\mathbb{A}^2$.
      • Les ensembles finis de points. Par exemple, $V(x-1, y-2) = \{(1, 2)\}$.
      • Les courbes algébriques. Par exemple, $V(y – x^2)$ est la parabole $y=x^2$. $V(x^2 + y^2 – 1)$ est le cercle unité.
      • L’union de ces ensembles. Par exemple, $V(xy)$ est l’union des axes $x=0$ et $y=0$.
    • Les ouverts de Zariski sont les complémentaires de ces ensembles. Un ouvert non vide $U \subset \mathbb{A}^2$ est très grand, et son complément est une union finie de points et de courbes.

Contre-exemple : Comparaison avec la Topologie Euclidienne

Pour mieux saisir les particularités de la topologie de Zariski, comparons-la à la topologie euclidienne sur $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$.

Contre-exemple 3.3 (Fermés et Ouverts) : Considérons $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.

    • Dans la topologie de Zariski, l’intervalle $[0, 1]$ (s’il était un sous-ensemble de $\mathbb{C}$) n’est pas un fermé. Un fermé non vide doit être un ensemble fini de points. De même, un singleton $\{0\}$ est un fermé de Zariski.
    • Dans la topologie euclidienne (standard) sur $\mathbb{C}$, $[0, 1]$ est fermé. $\{0\}$ est fermé. Un ouvert non vide doit contenir une boule ouverte. L’ensemble $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ est un ouvert euclidien et aussi un ouvert de Zariski. Cependant, un ouvert de Zariski comme $\mathbb{C} \setminus \{1, 2, 3\}$ n’est pas une union de boules ouvertes pour la topologie euclidienne, mais un ouvert euclidien est toujours un ouvert de Zariski.

Cela démontre que la topologie de Zariski est considérablement plus grossière (possède moins d’ouverts) que la topologie euclidienne.

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Topologie Induite par Zariski

La Topologie de Zariski peut être induite sur n’importe quel sous-ensemble d’un espace affine.

Variétés Algébriques

Définition 4.1 (Variété Algébrique Affine Irréductible) : Une variété algébrique affine irréductible est un ensemble algébrique affine $V \subseteq \mathbb{A}^n$ tel que $I(V)$ est un idéal premier de $K[x_1, \dots, x_n]$.

Définition 4.2 (Topologie de Zariski Induite) : Pour une variété algébrique $V \subseteq \mathbb{A}^n$, la topologie de Zariski sur $V$ est la topologie induite par la topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n$. Les fermés de Zariski sur $V$ sont les intersections de $V$ avec les fermés de Zariski de $\mathbb{A}^n$. Autrement dit, un sous-ensemble $Z \subseteq V$ est fermé de Zariski si $Z = V \cap W$ pour un ensemble algébrique affine $W \subseteq \mathbb{A}^n$.

Preuve : Fermés induits

Preuve : Soit $Z \subseteq V$ un ensemble fermé de Zariski sur $V$. Par définition, $Z = V \cap W$ où $W = V(S)$ pour un certain $S \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$. Ainsi, les points de $Z$ sont les zéros des polynômes dans $I(V) \cup S$. Ceci montre que $Z = V(I(V) \cup S)$, ce qui confirme que les fermés induits sont bien des ensembles algébriques dans $V$. $\blacksquare$

Cette topologie permet l’étude locale des propriétés géométriques et algébriques des variétés.