Topologie Engendrée par une Base
L’un des principaux avantages de la notion de base est sa capacité à construire une topologie à partir d’une collection de parties, sans avoir à vérifier les axiomes sur une infinité d’ensembles. On parle alors de la topologie « engendrée » par cette base.
Soit $X$ un ensemble et $\mathcal{B}$ une famille de parties de $X$ qui est une base de topologie (c’est-à-dire qu’elle vérifie les deux conditions de recouvrement et d’intersection).
La topologie engendrée par $\mathcal{B}$, notée $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$, est la collection de toutes les parties de $X$ qui peuvent s’écrire comme une union (finie ou infinie) d’éléments de $\mathcal{B}$. $$ \mathcal{T}_{\mathcal{B}} = \left\{ \bigcup_{i \in I} B_i \mid B_i \in \mathcal{B} \text{ pour tout } i \in I \right\} $$ Par convention, l’union sur un ensemble d’indices vide $I = \emptyset$ est l’ensemble vide $\emptyset$.
Une famille $\mathcal{B}$ de parties d’un ensemble $X$ est une base pour une certaine topologie sur $X$ si et seulement si elle satisfait les deux conditions suivantes :
- Recouvrement : $X$ est l’union de tous les éléments de $\mathcal{B}$. Autrement dit, pour tout $x \in X$, il existe un $B \in \mathcal{B}$ tel que $x \in B$.
- Stabilité par intersection : Pour toute paire d’éléments $B_1, B_2$ de $\mathcal{B}$, leur intersection $B_1 \cap B_2$ est une union d’éléments de $\mathcal{B}$.
Remarques Importantes
- La deuxième condition est souvent vérifiée en montrant que pour tout $x \in B_1 \cap B_2$, il existe un $B_3 \in \mathcal{B}$ tel que $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$.
- La topologie $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ engendrée par $\mathcal{B}$ est la plus petite (ou la moins fine) topologie sur $X$ qui contient tous les ensembles de la collection $\mathcal{B}$.
- Par construction, les éléments de la base $\mathcal{B}$ sont eux-mêmes des ouverts de la topologie qu’ils engendrent.