Topologie Induite par une Distance
Toute distance définie sur un ensemble permet de construire naturellement une structure d’espace topologique sur cet ensemble. La topologie ainsi créée, appelée topologie métrique ou topologie induite par la distance, est basée sur la notion de « boule ouverte ».
Soit $(X, d)$ un espace métrique. Pour tout point $x \in X$ et tout réel $r > 0$, la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points de $X$ dont la distance à $x$ est strictement inférieure à $r$. $$ B(x, r) = \{ y \in X \mid d(x, y) < r \} $$ On définit de même la boule fermée $\bar{B}(x, r) = \{ y \in X \mid d(x, y) \le r \}$.
La topologie induite par la distance $d$ sur $X$ est la topologie dont une base est constituée par l’ensemble de toutes les boules ouvertes de $(X, d)$.
Autrement dit, un ensemble $O \subseteq X$ est un ouvert de cette topologie si pour chacun de ses points $x \in O$, il existe un rayon $r > 0$ tel que la boule ouverte $B(x, r)$ soit entièrement incluse dans $O$.
La topologie induite par une distance est toujours séparée (de Hausdorff). Pour cette raison, les espaces métriques sont un cadre privilégié pour faire de l’analyse.
Exemples
- Topologie usuelle de $\mathbb{R}$ : La distance usuelle $d(x,y) = |x-y|$ induit la topologie usuelle. Les boules ouvertes sont les intervalles ouverts $B(x,r) = ]x-r, x+r[$.
- Topologie usuelle de $\mathbb{R}^2$ : La distance euclidienne induit la topologie usuelle du plan. Les boules ouvertes sont les disques ouverts.
- Topologie discrète : La distance discrète induit la topologie discrète. En effet, pour tout point $x$, la boule ouverte $B(x, 1/2)$ est simplement le singleton $\{x\}$. Comme chaque singleton est un ouvert, toute partie de $X$ (qui est une union de singletons) est un ouvert.