Stabilité par Union et Intersection
Les deuxième et troisième axiomes d’une topologie sont des règles de stabilité. Ils garantissent que les opérations d’union et d’intersection, appliquées aux ensembles ouverts, produisent encore des ensembles ouverts. C’est ce qui donne sa cohérence à la structure.
Stabilité par Union Quelconque
Une collection $\mathcal{T}$ de parties d’un ensemble $X$ est stable par union si pour toute famille $(O_i)_{i \in I}$ d’éléments de $\mathcal{T}$ (les ouverts), leur union $\bigcup_{i \in I} O_i$ est encore un élément de $\mathcal{T}$.
L’union peut être finie ou infinie, l’axiome s’applique dans tous les cas.
Exemple dans $\mathbb{R}$
Considérons la famille d’intervalles ouverts $O_n = \left] \frac{1}{n}, 1 – \frac{1}{n} \right[$ pour $n \ge 2$. Leur union est : $$ \bigcup_{n=2}^{\infty} \left] \frac{1}{n}, 1 – \frac{1}{n} \right[ = \left]0, 1\right[ $$ L’union infinie d’ouverts est bien un ouvert.
Stabilité par Intersection Finie
Une collection $\mathcal{T}$ est stable par intersection finie si pour toute famille finie $(O_i)_{i=1}^n$ d’ouverts, leur intersection $\bigcap_{i=1}^n O_i$ est encore un ouvert.
La restriction au caractère fini de l’intersection est cruciale. Une intersection infinie d’ouverts n’est pas nécessairement un ouvert.
Contre-exemple pour l’intersection infinie
Considérons dans $\mathbb{R}$ la famille d’intervalles ouverts $O_n = \left] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. Chacun de ces ensembles est un ouvert. Cependant, leur intersection infinie est : $$ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[ = \{0\} $$ L’ensemble $\{0\}$ est un singleton, qui est un ensemble fermé dans la topologie usuelle de $\mathbb{R}$, et non un ouvert. Cet exemple justifie pourquoi l’axiome de stabilité par intersection est limité aux familles finies.