Topologies Discrète et Grossière
Pour n’importe quel ensemble $X$, il existe deux topologies « extrêmes » que l’on peut définir. Elles sont fondamentales car elles représentent le plus grand et le plus petit nombre possible d’ouverts, servant ainsi de points de référence pour comparer d’autres topologies.
La Topologie Discrète
La topologie discrète est la plus « riche » ou la plus « fine » possible : elle contient le plus grand nombre d’ouverts.
Soit $X$ un ensemble. La topologie discrète sur $X$ est la topologie où toutes les parties de $X$ sont des ouverts. L’ensemble des ouverts est donc l’ensemble des parties de $X$, noté $\mathcal{P}(X)$. $$ \mathcal{T}_{discrète} = \mathcal{P}(X) $$
- Dans un espace discret, toute partie est à la fois ouverte et fermée.
- Toute fonction partant d’un espace topologique discret est continue.
- Une suite $(x_n)$ converge vers $l$ si et seulement si elle est stationnaire à partir d’un certain rang (c’est-à-dire $x_n = l$ pour $n$ assez grand).
La Topologie Grossière
À l’opposé, la topologie grossière est la plus « pauvre » ou la moins « fine » : elle ne contient que le strict minimum d’ouverts requis par les axiomes.
Soit $X$ un ensemble. La topologie grossière (ou triviale) sur $X$ est la topologie ne contenant que l’ensemble vide et l’ensemble $X$ tout entier. $$ \mathcal{T}_{grossière} = \{ \emptyset, X \} $$
- Les seuls ouverts sont $\emptyset$ et $X$. Par conséquent, les seuls fermés sont également $\emptyset$ et $X$.
- Toute fonction à valeurs dans un espace topologique grossier est continue.
- Une suite $(x_n)$ converge vers n’importe quel point de l’espace. La notion de limite perd donc son unicité et son intérêt.