Topologies Initiale et Finale
Les topologies initiale et finale sont des constructions universelles qui permettent de définir des topologies « optimales » sur un ensemble en fonction de contraintes liées à la continuité d’une famille de fonctions. Elles répondent à des questions fondamentales comme : « Quelle est la plus petite topologie à mettre sur cet ensemble pour que ces fonctions soient continues ? » ou « Quelle est la plus grande ? ».
La Topologie Initiale
La topologie initiale est la topologie la plus « pauvre » (la moins fournie en ouverts) qui rend continue une famille d’applications partant de cet ensemble.
Soit $X$ un ensemble, $(Y_i, \mathcal{T}_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques, et $(f_i: X \to Y_i)_{i \in I}$ une famille d’applications.
La topologie initiale sur $X$ associée à la famille $(f_i)$ est la topologie la moins fine (c’est-à-dire la plus petite) rendant toutes les applications $f_i$ continues.
Elle est engendrée par la prébase $\mathcal{P} = \{ f_i^{-1}(O_i) \mid i \in I, O_i \in \mathcal{T}_i \}$.
Exemple : Topologie Produit
La topologie produit sur $X \times Y$ est la topologie initiale associée aux projections canoniques $p_X: X \times Y \to X$ et $p_Y: X \times Y \to Y$. C’est la plus petite topologie qui rend les projections continues.
La Topologie Finale
Inversement, la topologie finale est la topologie la plus « riche » (la plus fournie en ouverts) qui rend continue une famille d’applications arrivant sur cet ensemble.
Soit $Y$ un ensemble, $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques, et $(g_i: X_i \to Y)_{i \in I}$ une famille d’applications.
La topologie finale sur $Y$ associée à la famille $(g_i)$ est la topologie la plus fine (c’est-à-dire la plus grande) rendant toutes les applications $g_i$ continues.
Une partie $O$ de $Y$ est un ouvert pour cette topologie si et seulement si son image réciproque $g_i^{-1}(O)$ est un ouvert de $X_i$ pour tout $i \in I$.
Exemple : Topologie Quotient
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $\sim$ une relation d’équivalence sur $X$. La topologie sur l’ensemble quotient $X/\sim$ est la topologie finale associée à la surjection canonique $s: X \to X/\sim$. C’est la plus grande topologie qui rend la projection canonique continue.