Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée à coefficients dans $K$. On définit la trace de $A$, notée $tr(A)$, comme la somme de ses éléments diagonaux : $$ tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$
Pour un corps commutatif $K$, la trace vérifie les propriétés suivantes :
- Linéarité : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(K), \quad tr(A+B) = tr(A) + tr(B)$.
- Homogénéité : $\forall \lambda \in K, \forall A \in \mathcal{M}_n(K), \quad tr(\lambda A) = \lambda tr(A)$.
- Propriété cyclique : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(K), \quad tr(AB) = tr(BA)$.
Démonstration
i) et ii) Ces deux propriétés découlent de la distributivité et de la factorisation dans le corps $K$. La trace est une application linéaire de $\mathcal{M}_n(K)$ dans $K$.
iii) Soient $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$. Le coefficient diagonal d’indice $i$ de $AB$ est $\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}$. Le coefficient diagonal d’indice $k$ de $BA$ est $\sum_{i=1}^n b_{ki}a_{ik}$. On a donc : $$ tr(AB) = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki} \right) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{i=1}^n b_{ki}a_{ik} \right) = tr(BA) $$ L’interversion des symboles de sommation est possible car les sommes sont finies.
Deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(K)$ sont dites semblables s’il existe une matrice inversible $P \in GL_n(K)$ telle que $B = P^{-1}AP$.
Remarque
La relation « être semblable à » est une relation d’équivalence sur $\mathcal{M}_n(K)$. La classe d’équivalence d’une matrice $A$ est appelée sa classe de similitude.
Deux matrices semblables ont la même trace.
Démonstration
Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Il existe $P$ inversible telle que $B = P^{-1}AP$. En utilisant la propriété cyclique de la trace, on a : $$ tr(B) = tr(P^{-1}(AP)) = tr((AP)P^{-1}) = tr(A(PP^{-1})) = tr(AI_n) = tr(A) $$ La trace est donc un invariant de la classe de similitude.