Transport de Structure par Isomorphisme
La notion d’isomorphisme est extrêmement puissante car elle formalise l’idée que deux groupes sont « essentiellement les mêmes » du point de vue de leur structure. Si deux groupes sont isomorphes, alors toute propriété algébrique vraie pour l’un est également vraie pour l’autre. L’isomorphisme agit comme un « dictionnaire » parfait qui traduit non seulement les éléments, mais aussi toutes les propriétés de la structure.
Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un isomorphisme de groupes. Alors $G$ et $H$ partagent toutes leurs propriétés de groupe.
- $G$ est abélien si et seulement si $H$ est abélien.
- $G$ est cyclique si et seulement si $H$ est cyclique.
- Pour tout $x \in G$, l’ordre de $x$ dans $G$ est égal à l’ordre de $f(x)$ dans $H$.
- Le nombre de générateurs, le nombre de sous-groupes d’un certain ordre, etc., sont les mêmes.
Pourquoi est-ce vrai ?
Un isomorphisme $f$ est une bijection qui respecte la loi. Sa bijection réciproque $f^{-1}: H \to G$ est également un morphisme de groupes. Cela signifie qu’on peut traduire toute équation ou propriété de $G$ en une équation équivalente dans $H$, et vice-versa.
Par exemple, si $G$ est abélien, on a $x \star y = y \star x$. En appliquant $f$, on obtient $f(x \star y) = f(y \star x)$, ce qui donne $f(x) \bullet f(y) = f(y) \bullet f(x)$. Comme $f$ est surjective, tout élément de $H$ peut s’écrire comme un $f(z)$, donc $H$ est abélien.
Exemple : $(\mathbb{R}, +)$ et $(\mathbb{R}_+^*, \times)$
L’application $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un isomorphisme. Ces deux groupes sont donc structurellement identiques, même si leurs éléments et leurs lois sont différents.
| Propriété dans $(\mathbb{R}, +)$ | Traduction dans $(\mathbb{R}_+^*, \times)$ |
|---|---|
| Élément neutre : 0 | Élément neutre : $\exp(0)=1$ |
| Symétrique de $x$ : $-x$ | Inverse de $e^x$ : $\exp(-x)=1/e^x$ |
| Addition : $x+y$ | Multiplication : $\exp(x+y)=e^x \times e^y$ |
| « Multiple » : $n \cdot x$ | « Puissance » : $\exp(n \cdot x)=(e^x)^n$ |
Toute propriété de l’addition dans $\mathbb{R}$ a son équivalent pour la multiplication dans $\mathbb{R}_+^*$.