Dans le chapitre précédent sur les droites remarquables, nous avons vu que les médiatrices d’un triangle se coupent en un point $O$, le **centre du cercle circonscrit**. Ce point $O$ est équidistant des trois sommets ($OA=OB=OC$).
Lorsque le triangle est rectangle, la position de ce centre et les propriétés qui en découlent sont particulièrement remarquables.
I. Propriété du Cercle Circonscrit à un Triangle Rectangle
Si un triangle est **rectangle**, alors le centre de son cercle circonscrit est le **milieu de son hypoténuse**.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Dans ce cas, l’hypoténuse est un **diamètre** du cercle circonscrit.
Soit le triangle $ABC$ rectangle en $A$. Le centre $O$ du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$.
II. Réciproque : Test du Triangle Rectangle
Si un triangle est **inscrit dans un cercle** et que l’un de ses côtés est un **diamètre** de ce cercle, alors ce triangle est **rectangle**.
L’angle droit est nécessairement l’angle opposé au diamètre.
Cette propriété est un excellent moyen de **démontrer** qu’un triangle est rectangle si l’on connaît son cercle circonscrit.
Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de diamètre $[DE]$. $F$ est un point quelconque sur le cercle $\mathcal{C}$.
- Dessiner la figure.
- Démontrer que le triangle $DFE$ est rectangle.
- Préciser l’angle droit.
1. Figure : Le triangle $DFE$ est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont $[DE]$ est le diamètre.
2. Démonstration :
- Le triangle $DFE$ est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$.
- Le côté $[DE]$ du triangle est le diamètre du cercle $\mathcal{C}$.
- D’après le **Théorème 2 (Réciproque)**, si un côté d’un triangle inscrit dans un cercle est le diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle.
- Conclusion : Le triangle $DFE$ est rectangle.
3. Angle droit :
L’angle droit est l’angle opposé au diamètre $[DE]$, soit l’angle $\widehat{DFE}$. Le triangle $DFE$ est **rectangle en $F$**.
III. La Médiane Relative à l’Hypoténuse
Dans un **triangle rectangle**, la médiane issue du sommet de l’angle droit (c’est-à-dire la médiane relative à l’hypoténuse) a une longueur égale à **la moitié de la longueur de l’hypoténuse**.
Si $\triangle ABC$ est rectangle en $A$ et $O$ est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$, alors :
$$ AO = BO = CO = \frac{BC}{2} $$Ceci est une conséquence directe du Théorème 1, car $AO$, $BO$, et $CO$ sont les rayons du cercle circonscrit.
Soit un triangle $RST$ rectangle en $S$. On donne $RT = 14 \text{ cm}$. $M$ est le milieu du segment $[RT]$.
- Identifier la médiane relative à l’hypoténuse.
- Calculer la longueur de cette médiane.
1. Identification de la médiane :
- Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. L’hypoténuse est donc le côté $[RT]$.
- $M$ est le milieu de l’hypoténuse $[RT]$.
- La médiane relative à l’hypoténuse est le segment qui relie le sommet opposé à l’hypoténuse ($S$) au milieu de l’hypoténuse ($M$). C’est donc la médiane **$[SM]$**.
2. Calcul de la longueur $SM$ :
D’après la propriété de la médiane relative à l’hypoténuse :
$$ SM = \frac{1}{2} RT $$ $$ SM = \frac{1}{2} \times 14 \text{ cm} = 7 \text{ cm} $$La longueur de la médiane $[SM]$ est de $7 \text{ cm}$.
Il est essentiel de retenir les rôles de chaque théorème :
- **Théorème Direct (Théorème 1) :** Si je sais que le triangle est rectangle, je peux déterminer la position du centre $O$ (milieu de l’hypoténuse) et calculer la longueur de la médiane ($R = \frac{BC}{2}$).
- **Théorème Réciproque (Théorème 2) :** Si je connais le cercle circonscrit et que l’hypoténuse est un diamètre, je peux **démontrer** que le triangle est rectangle.