Troisième Théorème d’Isomorphisme
Le troisième théorème d’isomorphisme, parfois appelé « théorème de simplification », explique comment fonctionne un « quotient d’un quotient ». Il montre que si l’on quotiente un groupe par un sous-groupe distingué, puis que l’on quotiente à nouveau le résultat, c’est équivalent à avoir quotienté le groupe initial par un sous-groupe plus grand.
Soit $G$ un groupe, et soient $H$ et $K$ deux sous-groupes distingués de $G$ tels que $K$ est un sous-groupe de $H$ ($K \subseteq H \subseteq G$).
Alors :
- Le groupe quotient $H/K$ est un sous-groupe distingué du groupe quotient $G/K$.
- Le quotient de ces deux groupes est isomorphe au groupe quotient $G/H$ : $$ (G/K) / (H/K) \simeq G/H $$
Interprétation
Ce théorème peut être vu comme une règle de « simplification par $K$ ». Tout se passe comme si l’on pouvait simplifier le $K$ au numérateur et au dénominateur du quotient de gauche.
Intuitivement, si on « réduit » un groupe $G$ en identifiant les éléments de $K$ (ce qui donne $G/K$), puis qu’on le « réduit » encore plus en identifiant les éléments de $H$ (ce qui revient à considérer le quotient par $H/K$), le résultat final est le même que si on avait directement « réduit » $G$ en identifiant les éléments de $H$.
Application dans le groupe $(\mathbb{Z}, +)$
Considérons le groupe $G = \mathbb{Z}$ et deux sous-groupes emboîtés.
- Soit $K = 6\mathbb{Z}$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
- Soit $H = 2\mathbb{Z}$ un autre sous-groupe de $\mathbb{Z}$. On a bien $6\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z}$ (tout multiple de 6 est un multiple de 2).
- Tous les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont distingués.
Appliquons le théorème :
- Groupe $G/K$ : C’est le groupe $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}, \dots, \bar{5}\}$.
- Groupe $H/K$ : C’est le groupe $2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Ses éléments sont les classes de $2\mathbb{Z}$ modulo 6, c’est-à-dire $\{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}\}$. C’est un sous-groupe de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
- Groupe $G/H$ : C’est le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}\}$.
- Le théorème nous donne l’isomorphisme : $$ (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) / (2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$
L’ordre du groupe de gauche est $\frac{|\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|}{|2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|} = \frac{6}{3} = 2$. L’ordre du groupe de droite est $|\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}| = 2$. Les ordres sont cohérents.