Trouver une Base de l’Image d’une Application Linéaire
L’image d’une application linéaire $f: E \to F$, notée $\text{Im}(f)$, est l’ensemble de toutes les valeurs que $f$ peut prendre. C’est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée $F$. Trouver une base de $\text{Im}(f)$ revient à trouver une famille de vecteurs « essentiels » qui engendrent cet espace.
L’image de $f$ est engendrée par les images des vecteurs d’une base de l’espace de départ. La méthode la plus simple est d’utiliser la matrice de l’application.
- Obtenir la matrice : On détermine la matrice $A$ de l’application linéaire $f$ dans des bases de départ et d’arrivée (généralement les bases canoniques).
- Identifier la famille génératrice : Les vecteurs colonnes de la matrice $A$ forment une famille génératrice de $\text{Im}(f)$.
- Extraire une base : Cette famille de colonnes est souvent liée. On applique la méthode de l’échelonnement (Pivot de Gauss) pour en extraire une famille libre, qui formera une base de l’image. Les colonnes de la matrice initiale qui correspondent aux colonnes avec un pivot forment la base.
Exemple 1 : Application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dont la matrice dans les bases canoniques est $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
1. Famille génératrice de l’image :
Les colonnes de $A$ engendrent $\text{Im}(f)$. Soit $C_1=(1, -1, 1)$ et $C_2=(2, 0, 1)$.
$\text{Im}(f) = \text{Vect}(C_1, C_2)$.
2. Extraire une base : On vérifie si la famille $(C_1, C_2)$ est libre.
La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a clairement un rang de 2 (les colonnes ne sont pas colinéaires).
Conclusion : La famille $(C_1, C_2)$ est libre et génératrice. C’est une base de $\text{Im}(f)$.
Base de $\text{Im}(f) = ((1, -1, 1), (2, 0, 1))$.
La dimension de l’image, aussi appelée le rang de $f$, est 2.
Exemple 2 : Application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$
Soit $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
1. Famille génératrice : $\text{Im}(f) = \text{Vect}(C_1, C_2, C_3)$ avec $C_1=(1,1,0)$, $C_2=(2,1,1)$ et $C_3=(3,2,1)$.
2. Extraire une base avec le pivot de Gauss sur la matrice A :
$L_2 \leftarrow L_2 – L_1$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$L_3 \leftarrow L_3 + L_2$
$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
3. Identifier les pivots : Ils sont dans les colonnes 1 et 2.
Conclusion : Une base de $\text{Im}(f)$ est formée par les colonnes originales $C_1$ et $C_2$.
Base de $\text{Im}(f) = ((1,1,0), (2,1,1))$.
Le rang de $f$ est 2. On peut vérifier que $C_3=C_1+C_2$.
Exemple 3 : Application définie par une formule
Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x+y, y-z)$.
1. Trouver la matrice de $f$ :
$f(e_1) = f(1,0,0) = (1,0)$.
$f(e_2) = f(0,1,0) = (1,1)$.
$f(e_3) = f(0,0,1) = (0,-1)$.
La matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Famille génératrice : $\text{Im}(f)$ est engendrée par les colonnes $C_1=(1,0)$, $C_2=(1,1)$ et $C_3=(0,-1)$.
3. Extraire une base : La matrice $A$ est déjà échelonnée. Il y a des pivots dans les colonnes 1 et 2.
Une base de $\text{Im}(f)$ est donc $((1,0), (1,1))$.
L’espace d’arrivée est $\mathbb{R}^2$, de dimension 2. Comme $\text{dim}(\text{Im}(f))=2$, l’image est $\mathbb{R}^2$ tout entier. L’application $f$ est surjective.
Ce théorème est l’outil de vérification ultime. Pour une application linéaire $f: E \to F$ :
$\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{Ker}(f)) + \text{dim}(\text{Im}(f))$
La dimension de l’image, $\text{dim}(\text{Im}(f))$, est aussi appelée le rang de $f$.
Dans l’Exemple 2, $\text{dim}(\mathbb{R}^3)=3$ et on a trouvé $\text{rang}(f)=2$. Le théorème nous dit que $\text{dim}(\text{Ker}(f)) = 3-2=1$. Le noyau de $f$ est une droite.