Unicité de la Limite dans un Espace Séparé
L’une des raisons principales pour lesquelles la propriété de séparation (Hausdorff) est si cruciale en analyse est qu’elle garantit que le concept de limite se comporte comme nous en avons l’habitude : si une limite existe, elle doit être unique.
Dans un espace topologique séparé $(X, \mathcal{T})$, toute suite convergente $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite unique.
Démonstration par l’absurde
Supposons que la suite $(x_n)$ admette deux limites distinctes, $l_1$ et $l_2$, avec $l_1 \neq l_2$.
- Utilisation de la séparation : Puisque l’espace $X$ est séparé et que $l_1 \neq l_2$, il existe par définition un voisinage $U$ de $l_1$ et un voisinage $V$ de $l_2$ tels que $U \cap V = \emptyset$.
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Utilisation de la définition de la convergence :
- Comme $(x_n)$ converge vers $l_1$, il existe un rang $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N_1$, on a $x_n \in U$.
- De même, comme $(x_n)$ converge vers $l_2$, il existe un rang $N_2 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N_2$, on a $x_n \in V$.
- Mise en évidence de la contradiction : Posons $N = \max(N_1, N_2)$. Alors, pour tout entier $n \ge N$, le terme $x_n$ doit satisfaire les deux conditions simultanément : $$ x_n \in U \quad \text{et} \quad x_n \in V $$ Cela implique que $x_n \in U \cap V$. Mais nous avons choisi $U$ et $V$ de sorte que $U \cap V = \emptyset$. C’est une contradiction.
Conclusion : L’hypothèse de départ (l’existence de deux limites distinctes) est fausse. La limite est donc unique.
Contre-exemple : Espace non séparé
Considérons un ensemble $X = \{a, b\}$ muni de la topologie grossière $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$. Cet espace n’est pas séparé.
Soit la suite constante $x_n = a$ pour tout $n$.
- Le seul voisinage de $b$ est $X$. La suite $(x_n)$ est dans ce voisinage à partir du rang 0. Donc, la suite converge vers $b$.
- Le seul voisinage de $a$ est $X$. La suite $(x_n)$ est dans ce voisinage à partir du rang 0. Donc, la suite converge aussi vers $a$.