Utilisation de la Matrice Hessienne
La matrice Hessienne est l’outil de choix pour déterminer la nature d’un point critique (minimum, maximum ou point selle). Son analyse, via le « test de la dérivée seconde », repose sur l’étude du signe de ses valeurs propres, ce qui revient à étudier la « courbure » de la fonction dans toutes les directions au voisinage du point critique.
1. La Méthodologie en Trois Étapes
Pour trouver et classifier les extrémums locaux d’une fonction $f$ de classe C², la méthode est systématique :
- Trouver les points critiques : On calcule le gradient de $f$, $\nabla f$, et on résout le système d’équations $\nabla f(x) = \vec{0}$ pour trouver les coordonnées de tous les points critiques.
- Calculer la matrice Hessienne : On calcule la matrice $H_f$ des dérivées secondes de $f$. C’est une fonction matricielle qui dépend de $x$.
- Classifier chaque point critique : Pour chaque point critique $a$ trouvé à l’étape 1, on évalue la matrice Hessienne $H_f(a)$ en ce point et on analyse ses valeurs propres (ou son déterminant et sa trace en 2D) pour déterminer sa nature.
2. Un Exemple Complet
Étudions les extrémums locaux de la fonction $f(x,y) = x^4 + y^4 – 4xy + 1$.
Étape 1 : Recherche des Points Critiques
On annule le gradient $\nabla f(x,y) = (4x^3 – 4y, 4y^3 – 4x)$. $$ \begin{cases} 4x^3 – 4y = 0 \\ 4y^3 – 4x = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = x^3 & (1) \\ x = y^3 & (2) \end{cases} $$ On substitue (1) dans (2) : $x = (x^3)^3 = x^9$. $$ x^9 – x = 0 \iff x(x^8 – 1) = 0 \iff x(x^4-1)(x^4+1) = 0 \iff x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = 0 $$ Les solutions réelles sont $x=0$, $x=1$ et $x=-1$.
- Si $x=0$, alors $y=0^3=0$. Point critique : (0,0).
- Si $x=1$, alors $y=1^3=1$. Point critique : (1,1).
- Si $x=-1$, alors $y=(-1)^3=-1$. Point critique : (-1,-1).
Étape 2 : Calcul de la Matrice Hessienne
On calcule les dérivées secondes : $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4 $$ La matrice Hessienne est donc : $$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2 \end{pmatrix} $$
Étape 3 : Classification des Points Critiques
Cas du point (0,0)
On évalue la Hessienne en (0,0) :
$$ H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} $$
Son déterminant est $D = (0)(0) – (-4)(-4) = -16$.
Comme $D < 0$, le point (0,0) est un point selle.
Cas du point (1,1)
On évalue la Hessienne en (1,1) :
$$ H_f(1,1) = \begin{pmatrix} 12 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix} $$
Son déterminant est $D = (12)(12) – (-4)(-4) = 144 – 16 = 128$.
Comme $D > 0$, c’est un extremum local. On regarde le signe du terme $A = 12$.
Comme $A > 0$, le point (1,1) est un minimum local.
Cas du point (-1,-1)
On évalue la Hessienne en (-1,-1) :
$$ H_f(-1,-1) = \begin{pmatrix} 12(-1)^2 & -4 \\ -4 & 12(-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -4 \\ -4 & 12 \end{pmatrix} $$
C’est la même matrice qu’au point (1,1).
$D = 128 > 0$ et $A = 12 > 0$.
Le point (-1,-1) est également un minimum local.