Utiliser le théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone (parfois appelé théorème de la convergence monotone) est un pilier de l’analyse des suites. Sa force réside dans sa simplicité : il garantit la convergence d’une suite sans même connaître la valeur de sa limite ! Il suffit de vérifier deux propriétés : sa monotonie et le fait qu’elle soit bornée.

La Stratégie en 4 Étapes

Pour appliquer ce théorème, en particulier sur une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, le plan d’attaque est presque toujours le même :

1. Étape 1 : Démontrer que la suite est bornée. On montre par récurrence que la suite est majorée (si on la pense croissante) ou minorée (si on la pense décroissante). On peut deviner la borne en cherchant les points fixes de $f$.
2. Étape 2 : Démontrer la monotonie. On étudie le signe de $u_{n+1} – u_n$. Une autre méthode consiste à étudier la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=x$.
3. Étape 3 : Conclure à la convergence. On applique le théorème. « La suite est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite finie L ».
4. Étape 4 : Déterminer la limite. On utilise le fait que si $u_n \to L$, alors $u_{n+1} \to L$ aussi. La limite $L$ doit donc être un point fixe de $f$, c’est-à-dire une solution de l’équation $L = f(L)$. On choisit la bonne solution parmi les points fixes grâce à l’encadrement trouvé à l’étape 1.

Exemple Détaillé : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$

Appliquons la stratégie à cet exemple classique.

Conjecture : Les premiers termes sont $u_0=0, u_1=\sqrt{2}\approx 1.41, u_2=\sqrt{\sqrt{2}+2}\approx 1.84$. La suite semble croissante. Le point fixe de $f(x)=\sqrt{x+2}$ est la solution de $x=\sqrt{x+2}$, qui est $x=2$. On conjecture que la suite est croissante et majorée par 2.

Étape 1 (Bornes) : Montrons par récurrence que $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0=0$, donc on a bien $0 \le 0 \le 2$. Vrai.
Hérédité : Supposons $0 \le u_k \le 2$ pour un certain $k$. Alors $2 \le u_k+2 \le 4$. En appliquant la fonction racine (qui est croissante), on obtient $\sqrt{2} \le \sqrt{u_k+2} \le \sqrt{4}$, soit $\sqrt{2} \le u_{k+1} \le 2$. A fortiori, $0 \le u_{k+1} \le 2$. L’hérédité est prouvée.

Étape 2 (Monotonie) : Montrons que $(u_n)$ est croissante.

Étudions le signe de $u_{n+1} – u_n = \sqrt{u_n+2} – u_n$. $f(x) – x = \sqrt{x+2} – x$. Sur l’intervalle $[0, 2]$, on peut montrer que $\sqrt{x+2} \ge x$. En effet, $x+2 \ge x^2 \iff x^2-x-2 \le 0 \iff (x-2)(x+1) \le 0$, ce qui est vrai pour $x \in [-1, 2]$. Comme $u_n \in [0, 2]$, on a $f(u_n) – u_n \ge 0$, soit $u_{n+1} \ge u_n$. La suite est croissante.

Étape 3 (Conclusion) :

La suite $(u_n)$ est croissante (Étape 2) et majorée par 2 (Étape 1). D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite finie $L$.

Étape 4 (Calcul de la limite) :

La limite $L$ doit vérifier $L = f(L) = \sqrt{L+2}$. Les solutions sont $L=-1$ et $L=2$.
Comme on sait que $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$, par passage à la limite, on doit avoir $0 \le L \le 2$.
La seule solution possible est donc $L=2$.