Les variétés algébriques affines constituent un concept fondamental en géométrie algébrique, permettant l’étude des ensembles de solutions de systèmes d’équations polynomiales. Cette section explore leur définition rigoureuse et leurs propriétés essentielles.

Définitions Fondamentales des Variétés Algébriques Affines

L’Espace Affine $K^n$

L’étude commence par la définition de l’espace sur lequel ces variétés sont construites.

• Définition 1.1 (Corps Algébriquement Clos) : Un corps $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant $P(x) \in K[x]$ possède au moins une racine dans $K$.

• Définition 1.2 (Espace Affine) : Soit $K$ un corps algébriquement clos. L’espace affine de dimension $n$ sur $K$, noté $\mathbb{A}^n(K)$ ou simplement $K^n$, est l’ensemble des $n$-uplets d’éléments de $K$.

  $$ \mathbb{A}^n(K) = \{ (a_1, \dots, a_n) \mid a_i \in K \text{ pour tout } i=1, \dots, n \} $$

  Un élément $p \in \mathbb{A}^n(K)$ est appelé un point.

Polynômes et Idéaux

Les polynômes sont les briques élémentaires pour définir les variétés.

• Définition 1.3 (Anneau de Polynômes) : L’anneau des polynômes en $n$ variables $x_1, \dots, x_n$ à coefficients dans $K$ est noté $K[x_1, \dots, x_n]$. Ses éléments sont des sommes finies de monômes $a_{i_1 \dots i_n} x_1^{i_1} \dots x_n^{i_n}$.

• Définition 1.4 (Idéal) : Un sous-ensemble non vide $I$ d’un anneau $R$ est un idéal si pour tout $a,b \in I$ et tout $r \in R$, $a-b \in I$ et $ra \in I$.

  Dans notre contexte, $R = K[x_1, \dots, x_n]$.

• Définition 1.5 (Idéal Engendré) : Pour un ensemble fini de polynômes $S = \{f_1, \dots, f_m\} \subset K[x_1, \dots, x_n\}$, l’idéal engendré par $S$, noté $\langle S \rangle$ ou $\langle f_1, \dots, f_m \rangle$, est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des $f_i$ avec des coefficients dans $K[x_1, \dots, x_n]$.

  $$ \langle f_1, \dots, f_m \rangle = \left\{ \sum_{i=1}^m g_i f_i \mid g_i \in K[x_1, \dots, x_n] \right\} $$

  Tout idéal $I \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$ peut être engendré par un ensemble fini de polynômes, conséquence du Théorème de la Base de Hilbert.

Ensemble Zéro d’un Idéal

C’est ici que le lien entre algèbre et géométrie est établi.

• Définition 1.6 (Ensemble Zéro) : Pour un idéal $I \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$, l’ensemble des zéros de $I$, noté $Z(I)$, est l’ensemble de tous les points $p \in \mathbb{A}^n(K)$ pour lesquels tous les polynômes de $I$ s’annulent.

  $$ Z(I) = \{p \in K^n \mid f(p)=0 \quad \forall f \in I\} $$

  Par définition, $Z(I) = Z(\{f_1, \dots, f_m\})$ si $I = \langle f_1, \dots, f_m \rangle$.

Variété Algébrique Affine

La définition formelle conclut cette première série de concepts.

• Définition 1.7 (Variété Algébrique Affine) : Un sous-ensemble $V \subseteq \mathbb{A}^n(K)$ est une variété algébrique affine s’il est l’ensemble des zéros d’un idéal $I$ de $K[x_1, \dots, x_n]$.

  Autrement dit, $V = Z(I)$ pour un certain idéal $I$.

Propriétés et Théorèmes Clés des Variétés Algébriques Affines

Idéal d’une Variété

Chaque variété est associée à un idéal particulier.

• Définition 2.1 (Idéal d’une Variété) : Pour un sous-ensemble $V \subseteq \mathbb{A}^n(K)$, l’idéal de $V$, noté $I(V)$, est l’ensemble de tous les polynômes qui s’annulent en tout point de $V$.

  $$ I(V) = \{f \in K[x_1, \dots, x_n] \mid f(p)=0 \quad \forall p \in V\} $$

  $I(V)$ est toujours un idéal de $K[x_1, \dots, x_n]$.

Le Théorème de la Base de Hilbert

Ce théorème est essentiel pour garantir la finitude des générateurs d’un idéal.

• Théorème 2.2 (Théorème de la Base de Hilbert) : Si $R$ est un anneau noethérien, alors l’anneau de polynômes $R[x_1, \dots, x_n]$ est également noethérien.

  En particulier, comme $K$ est un corps (donc noethérien), $K[x_1, \dots, x_n]$ est noethérien. Cela implique que tout idéal $I \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$ est finiment engendré.

  Preuve : La preuve procède par induction sur $n$. Pour $n=0$, $K$ est noethérien. Supposons $R$ noethérien. Pour montrer que $R[x]$ est noethérien, on utilise la propriété équivalente des chaînes ascendantes. Soit $I$ un idéal de $R[x]$. Considérons l’ensemble des coefficients dominants des polynômes de $I$. Cet ensemble, avec zéro, forme un idéal dans $R$. Comme $R$ est noethérien, cet idéal est finiment engendré. On construit ensuite un ensemble fini de générateurs pour $I$ en utilisant ce fait. Ce processus s’étend aux $n$ variables. $\blacksquare$

Le Théorème des Zéros de Hilbert (Nullstellensatz)

Ce théorème fondamental établit une correspondance profonde entre idéaux et variétés.

• Définition 2.3 (Radical d’un Idéal) : Le radical d’un idéal $I$, noté $\sqrt{I}$, est l’ensemble des éléments $f \in K[x_1, \dots, x_n]$ tels qu’il existe un entier $m \ge 1$ avec $f^m \in I$.

  $$ \sqrt{I} = \{f \in K[x_1, \dots, x_n] \mid \exists m \in \mathbb{N}^*, f^m \in I\} $$

• Théorème 2.4 (Nullstellensatz Faible) : Soit $I$ un idéal propre de $K[x_1, \dots, x_n]$ (c’est-à-dire $I \ne K[x_1, \dots, x_n]$). Alors $Z(I)$ n’est pas vide.

  Preuve : La preuve repose sur le fait que tout idéal propre dans $K[x_1, \dots, x_n]$ est contenu dans un idéal maximal. Puisque $K$ est algébriquement clos, l’idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $K[x_1, \dots, x_n]$ est de la forme $\langle x_1-a_1, \dots, x_n-a_n \rangle$ pour certains $a_i \in K$. Un tel idéal a un zéro unique $(a_1, \dots, a_n)$. Si $I \subseteq \mathfrak{m}$, alors $Z(\mathfrak{m}) \subseteq Z(I)$, donc $Z(I)$ contient le point $(a_1, \dots, a_n)$. $\blacksquare$

• Théorème 2.5 (Nullstellensatz Fort) : Pour tout idéal $I \subseteq K[x_1, \dots, x_n]$, on a $I(Z(I)) = \sqrt{I}$.

  Ce théorème établit une correspondance biunivoque entre les variétés algébriques affines et les idéaux radicaux de $K[x_1, \dots, x_n]$.

Morphismes de Variétés Affines

Définition d’un Morphisme Régulier

Les morphismes sont les fonctions « naturelles » entre variétés.

• Définition 3.1 (Morphisme Régulier) : Soient $V \subseteq \mathbb{A}^n(K)$ et $W \subseteq \mathbb{A}^m(K)$ deux variétés algébriques affines. Une application $\phi: V \to W$ est un morphisme régulier si elle est de la forme :

  $$ \phi(p_1, \dots, p_n) = (f_1(p_1, \dots, p_n), \dots, f_m(p_1, \dots, p_n)) $$

  où chaque $f_i$ est un polynôme de $K[x_1, \dots, x_n]$.

• Définition 3.2 (Isomorphisme de Variétés) : Un morphisme régulier $\phi: V \to W$ est un isomorphisme si c’est une bijection et si son inverse $\phi^{-1}: W \to V$ est également un morphisme régulier.

  Deux variétés isomorphes sont considérées comme étant « identiques » d’un point de vue géométrique algébrique.

Exemples et Contre-exemples

Exemples Concrets de Variétés Algébriques Affines

Ces exemples illustrent la nature géométrique de ces structures.

• Exemple 4.1 (La droite affine) : L’espace $\mathbb{A}^1(K)$ lui-même est une variété. Il est l’ensemble des zéros de l’idéal nul $\langle 0 \rangle$.

• Exemple 4.2 (La parabole) : La parabole $y=x^2$ dans $\mathbb{A}^2(K)$ est la variété $Z(\langle y-x^2 \rangle)$.

• Exemple 4.3 (Le cercle unité) : Dans $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$, le cercle unité (réel) est $Z(\langle x^2+y^2-1 \rangle)$.

• Exemple 4.4 (Le point) : Un point unique $(a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{A}^n(K)$ est une variété affine, $Z(\langle x_1-a_1, \dots, x_n-a_n \rangle)$.

Contre-exemple : L’Ensemble Non Algébrique

Tous les sous-ensembles de $\mathbb{A}^n(K)$ ne sont pas des variétés algébriques.

• Contre-exemple 4.5 (Entiers dans $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$) : L’ensemble $\mathbb{Z} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ n’est pas une variété algébrique affine. En effet, un polynôme non nul n’a qu’un nombre fini de racines. Pour que $\mathbb{Z}$ soit $Z(I)$, $I$ devrait contenir le polynôme nul. Mais alors $Z(I) = \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$, ce qui est faux.

• Contre-exemple 4.6 (Ensemble infini discret) : Tout ensemble infini discret dans $\mathbb{A}^1(K)$ n’est pas une variété algébrique affine. Un polynôme non nul ne peut s’annuler qu’en un nombre fini de points.

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