Les variétés riemanniennes généralisent les notions de courbure et de distance aux espaces de dimension supérieure. Une variété riemannienne est un espace topologique localement équivalent à un espace euclidien, muni d’une structure différentielle et d’une métrique riemannienne.
Définition formelle d’une variété riemannienne
Une variété riemannienne est un triplet \((\mathcal{M}, \mathcal{A}, g)\) où :
- \(\mathcal{M}\) est une variété topologique de dimension \(n\) séparée, de Hausdorff et seconde dénombrable.
- \(\mathcal{A}\) est un atlas maximal de cartes coordonnées \(\varphi_\alpha : U_\alpha \subset \mathcal{M} \to \mathbb{R}^n\) telles que les applications de transition \(\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}\) soient \(C^\infty\) (différentiables à l’infini).
- \(g\) est une métrique riemannienne : pour tout \(p \in \mathcal{M}\), \(g_p\) est un produit scalaire sur l’espace tangent \(T_p\mathcal{M}\), variant de manière \(C^\infty\) avec \(p\).
Le fibré tangent \(T\mathcal{M}\) est le fibré vectoriel de base \(\mathcal{M}\) et de fibre \(T_p\mathcal{M}\). La métrique \(g\) est une section \(C^\infty\) de \(S^2(T^*\mathcal{M})\) (les tenseurs symétriques covariants d’ordre 2).
Exemple canonique : l’espace euclidien
Soit \(\mathbb{R}^n\) muni de sa structure de variété triviale. Définissons \(g_p\) par :
$$g_p(v,w) = \sum_{i=1}^n v^i w^i, \quad \forall v,w \in T_p\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n.$$
Les coefficients de \(g\) dans les coordonnées standards sont \(\delta_{ij}\) (matrice identité).
Théorème d’existence d’une métrique riemannienne
Théorème : Toute variété différentiable paracompacte admet une métrique riemannienne.
Preuve :
Soit \(\mathcal{M}\) une variété paracompacte. Il existe un recouvrement ouvert \(\{U_\alpha\}\) de \(\mathcal{M}\) tel que chaque \(U_\alpha\) est cartographié sur un ouvert de \(\mathbb{R}^n\). Sur chaque \(U_\alpha\), on transporte la métrique euclidienne standard \(\delta_{ij}\) via la carte \(\varphi_\alpha\). On obtient ainsi une famille de métriques locales \(g_\alpha\) sur \(U_\alpha\).
Soit \(\{\psi_\alpha\}\) une partition de l’unité subordonnée au recouvrement \(\{U_\alpha\}\). On définit alors :
$$g = \sum_\alpha \psi_\alpha \, g_\alpha.$$
Cette somme est finie en tout point. C’est clairement une section \(C^\infty\) et positive définie. \(\blacksquare\)
Contre-exemple : variété non paracompacte
Considérons la droite longue (long line) \(\mathbb{L}\). C’est une variété topologique localement homéomorphe à \(\mathbb{R}\), mais non paracompacte car non dénombrable à l’infini. Elle n’admet pas de métrique riemannienne globalement définie.
Connexion de Levi-Civita et courbure
Définition : Une connexion affine \(\nabla\) sur \(T\mathcal{M}\) est une application :
$$\nabla : \mathfrak{X}(\mathcal{M}) \times \mathfrak{X}(\mathcal{M}) \to \mathfrak{X}(\mathcal{M})$$
telle que :
- \(\nabla_{fX+gY} Z = f\nabla_X Z + g\nabla_Y Z\) (linéarité sur le premier argument).
- \(\nabla_X(fY) = X(f)Y + f\nabla_XY\) (règle de dérivation).
Théorème de Levi-Civita : Il existe une unique connexion \(\nabla\) sans torsion (\(T^\nabla=0\)) et compatible avec la métrique (\(\nabla g = 0\)).
Preuve (esquisse) :
En coordonnées locales, on exprime \(\Gamma_{ij}^k\) (symboles de Christoffel) via les dérivées de la métrique :
$$\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} – \partial_l g_{ij} \right).$$
L’unicité découle de la résolution du système linéaire. L’existence vient de la construction ci-dessus. \(\blacksquare\)
Exemple : sphère \(S^2\)
On plonge \(S^2 \subset \mathbb{R}^3\). La métrique induite est :
$$g = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2.$$
Les symboles de Christoffel non nuls :
$$\Gamma_{\phi\phi}^{\theta} = -\sin\theta\cos\theta, \quad \Gamma_{\theta\phi}^{\phi} = \cot\theta.$$
Courbure sectionnelle et tenseur de courbure
Soit \(P \subset T_p\mathcal{M}\) un plan 2-dimensionnel engendré par \(X,Y\). La courbure sectionnelle est :
$$K(P) = \frac{\langle R(X,Y)Y, X \rangle}{\|X\|^2\|Y\|^2 – \langle X,Y \rangle^2}.$$
Le tenseur de courbure \(R\) est défini par :
$$R(X,Y) = \nabla_X\nabla_Y – \nabla_Y\nabla_X – \nabla_{[X,Y]}.$$
En coordonnées :
$$R_{ijk}^l = \partial_i \Gamma_{jk}^l – \partial_j \Gamma_{ik}^l + \Gamma_{jk}^m \Gamma_{im}^l – \Gamma_{ik}^m \Gamma_{jm}^l.$$
Théorème d’Ampère (formule de Gauss-Bonnet intégrale)
Pour une surface 2-dimensionnelle compacte sans bord \(\Sigma\) :
$$\int_\Sigma K \, d\mu_g = 2\pi \chi(\Sigma),$$
où \(K\) est la courbure gaussienne et \(\chi\) la caractéristique d’Euler.
Preuve : Utilisation d’une triangulation et de la formule de Gauss-Bonnet locale. \(\blacksquare\)
Exemple : tore plat \(T^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\)
Métrique \(g = dx^2 + dy^2\). Tous les symboles de Christoffel sont nuls. Donc \(R \equiv 0\). Courbure sectionnelle nulle partout. Le tore est localement isométrique à \(\mathbb{R}^2\).
Isométries et Killing
Définition : Une application \(\phi : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) est une isométrie si c’est un diffémorphisme et \(\phi^* g_\mathcal{N} = g_\mathcal{M}\).
Théorème ( Killing ) : Les champs de vecteurs \(X\) sur \(\mathcal{M}\) tels que \(\mathcal{L}_X g = 0\) (générateurs infinitésimaux d’isométries) satisfont l’équation de Killing :
$$\nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0.$$
Pour approfondir, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur, licence, prépa sur KeepMath. La revue CultureMATH propose également des ressources sur les variétés riemanniennes et la géométrie différentielle.