La **translation** est une transformation géométrique qui décrit le mouvement d’un objet se déplaçant en ligne droite, sans rotation ni déformation. Elle est entièrement définie par un **vecteur**, qui est l’outil mathématique permettant de modéliser ce déplacement en termes de direction, de sens et de distance.
I. Le Vecteur : Définition et Égalité
I.1 Définition des Caractéristiques d’un Vecteur
Un **vecteur** $\vec{AB}$ est défini par le déplacement du point $A$ vers le point $B$. Il possède trois caractéristiques :
- **Direction :** La direction de la droite $(AB)$.
- **Sens :** Le sens du parcours de $A$ vers $B$.
- **Norme (ou Longueur) :** La distance $AB$. La norme du vecteur $\vec{AB}$ est notée $\left\| \vec{AB} \right\|$.
Un vecteur est souvent représenté par une flèche. Si $A$ et $B$ sont confondus, le vecteur $\vec{AA}$ est le **vecteur nul**, noté $\vec{0}$, de norme nulle et sans direction ou sens défini.
I.2 Égalité de Deux Vecteurs
Deux vecteurs, $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$, sont **égaux** si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
$$ \vec{AB} = \vec{CD} $$Cette égalité est équivalente à l’affirmation que le quadrilatère $ABDC$ (attention à l’ordre des points) est un **parallélogramme** (éventuellement aplati).
Si $\vec{AB} = \vec{CD}$, cela signifie que le segment $[AD]$ et le segment $[BC]$ ont le même milieu.
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. En déduire toutes les égalités de vecteurs possibles.
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, et le sens doit être le même :
- $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ ont la même direction, norme et sens. Donc : $$ \vec{AB} = \vec{DC} $$
- $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ ont la même direction, norme et sens. Donc : $$ \vec{AD} = \vec{BC} $$
II. La Translation Définie par un Vecteur
La **translation** de vecteur $\vec{u}$ est la transformation géométrique qui, à tout point $M$ du plan, associe un point $M’$ tel que :
$$ \vec{MM’} = \vec{u} $$On note $M’$ l’image de $M$ par la translation $t_{\vec{u}}$.
Si $\vec{u} = \vec{AB}$, alors $M’$ est l’image de $M$ si et seulement si le quadrilatère $ABM’M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Pour construire l’image $A’$ du point $A$ par la translation de vecteur $\vec{u} = \vec{BC}$ :
- On s’assure que le vecteur $\vec{BC}$ est tracé (direction, sens, norme).
- À partir de $A$, on reporte le même mouvement : direction $(BC)$, même sens et longueur $BC$.
- Le point $A’$ est tel que $BC A’A$ forme un parallélogramme. On utilise le compas pour vérifier les longueurs $BA’$ et $CA$ ainsi que les longueurs $BC$ et $AA’$.
Soient trois points $A$, $B$, $C$. Construire le point $D$, image du point $C$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
Si $D$ est l’image de $C$ par $t_{\vec{AB}}$, cela signifie que :
$$ \vec{CD} = \vec{AB} $$L’égalité $\vec{AB} = \vec{CD}$ implique que le quadrilatère $ABDC$ est un **parallélogramme**.
Note : La construction du point $D$ se fait en traçant la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ et en reportant la longueur $AB$ dans le sens de $A$ vers $B$.
III. Propriétés de la Translation
La translation est une **isométrie**, ce qui signifie qu’elle conserve toutes les propriétés métriques. Si $\mathcal{F}’$ est l’image d’une figure $\mathcal{F}$ par translation, alors :
- **Conservation des Distances :** Le symétrique d’un segment est un segment de **même longueur**. Si $A’B’$ est l’image de $AB$, alors $A’B’ = AB$.
- **Conservation des Angles :** L’image d’un angle a la **même mesure**.
- **Conservation de l’Alignement :** L’image de points alignés sont des points alignés.
- **Conservation du Parallélisme :** L’image de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
- **Conservation de la Nature des Figures :** L’image d’un triangle est un triangle de même nature (isocèle, équilatéral, rectangle) et de même aire. L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
Contrairement à la symétrie axiale, la translation **conserve l’orientation**.
Soit un triangle $EFG$ isocèle en $E$. On applique la translation de vecteur $\vec{v}$ pour obtenir le triangle $E’F’G’$ ($E’$ est l’image de $E$, etc.).
- Démontrer que $E’F’G’$ est aussi isocèle.
- Si l’aire de $EFG$ est de $15 \text{ cm}^2$, quelle est l’aire de $E’F’G’$ ?
1. Démonstration de la nature :
- Le triangle $EFG$ est isocèle en $E$, donc $EF = EG$.
- La translation est une isométrie, elle conserve les distances (propriété 1).
- Puisque $E’$ est l’image de $E$ et $F’$ l’image de $F$, on a $E’F’ = EF$.
- Puisque $E’$ est l’image de $E$ et $G’$ l’image de $G$, on a $E’G’ = EG$.
- Par conséquent, $E’F’ = E’G’$. Le triangle $E’F’G’$ est bien **isocèle en $E’$**.
2. Calcul de l’aire :
- La translation conserve l’aire des figures (propriété 5).
- L’aire de $E’F’G’$ est égale à l’aire de $EFG$.
- Aire($E’F’G’$) $= 15 \text{ cm}^2$.