Volume d’un Solide sous une Surface

Calcul de Volume sous une Surface avec l’Intégrale Double

Volume d’un Solide sous une Surface

L’interprétation géométrique la plus directe de l’intégrale double est le calcul du volume. Si l’on a une fonction positive $f(x,y)$, son intégrale sur un domaine plan $D$ correspond au volume du solide délimité par le « plancher » $z=0$, le « toit » $z=f(x,y)$, et les « murs » verticaux au-dessus de la frontière de $D$.

1. La Formule Fondamentale

Formule du Volume sous une Surface

Soit $f(x,y)$ une fonction positive et continue sur un domaine $D$ du plan $(x,y)$. Le volume $V$ du solide $S$ défini par : $$ S = \{ (x,y,z) \mid (x,y) \in D \text{ et } 0 \le z \le f(x,y) \} $$ est donné par l’intégrale double de $f$ sur $D$ : $$ V = \iint_D f(x,y) \,dA $$

[Image du volume sous une surface]

2. Méthodologie de Calcul

Pour calculer ce volume, on suit une procédure systématique :

  1. Identifier la fonction de hauteur : La fonction à intégrer est la fonction $f(x,y)$ qui définit le « toit » du solide.
  2. Identifier le domaine de base : Le domaine d’intégration $D$ est la projection du solide sur le plan $(x,y)$. C’est « l’ombre » du solide.
  3. Décrire le domaine D : On exprime le domaine $D$ par des inégalités, en le classifiant comme un domaine de Type 1, de Type 2, ou en utilisant un système de coordonnées plus adapté (comme les coordonnées polaires).
  4. Calculer l’intégrale itérée : On applique le théorème de Fubini pour transformer l’intégrale double en deux intégrales simples et on les calcule.

Exemple Détaillé

Calculer le volume du solide situé sous le paraboloïde $z=1-x^2-y^2$ et au-dessus du plan $z=0$.

  1. Fonction de hauteur : Le solide est borné par le haut par $z=1-x^2-y^2$. Donc, $f(x,y) = 1-x^2-y^2$.
  2. Domaine de base : Le solide est au-dessus du plan $z=0$, donc la base $D$ est la région du plan $(x,y)$ où $f(x,y) \ge 0$. $$ 1-x^2-y^2 \ge 0 \implies x^2+y^2 \le 1 $$ Le domaine $D$ est le disque unité centré à l’origine.
  3. Description du domaine et calcul : Le domaine et la fonction ont une symétrie circulaire, ce qui suggère fortement l’utilisation des coordonnées polaires.
    • Le domaine $D$ en polaires est : $0 \le r \le 1$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
    • La fonction devient : $f(r,\theta) = 1 – (x^2+y^2) = 1-r^2$.
    • L’élément d’aire est : $dA = r \,dr \,d\theta$.
    On met en place l’intégrale : $$ V = \iint_D (1-x^2-y^2) \,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1-r^2) \cdot r \,dr \,d\theta $$ $$ V = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 (r-r^3) \,dr \right) \,d\theta $$ L’intégrale intérieure est : $$ \int_0^1 (r-r^3) \,dr = \left[ \frac{r^2}{2} – \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$ On injecte ce résultat dans l’intégrale extérieure : $$ V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \,d\theta = \frac{1}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{4}(2\pi) = \frac{\pi}{2} $$

Le volume du solide est $\pi/2$.