Auteur/autrice : zu6vi

Exercices Corrigés : Matrices et Applications Linéaires de Matrices Exercice 1 Soit $K$ un corps commutatif et $\mathcal{H} = Vect(\{AB-BA \mid (A,B) \in (\mathcal{M}_n(K))^2\})$. Montrer que pour tous $i \neq j$, la matrice élémentaire $E_{ij}$ appartient à $\mathcal{H}$. Montrer que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la matrice $E_{ii} – E_{nn}$ appartient à $\mathcal{H}$….

Exercices Corrigés : Projecteurs Exercice 1 Soit $u$ un projecteur d’un K-espace vectoriel $E$. Démontrer les affirmations suivantes : $Id_E – u$ est également un projecteur. $Im(u) = Ker(Id_E – u)$. $E = Ker(u) \oplus Im(u)$. Si $E$ est de dimension finie, alors $rg(u) = tr(u)$. Solution 1 a) On calcule $(Id_E – u)^2 =…

Exercices Corrigés : Rang et Théorème du Rang Exercice 1 Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $F$ un K-espace vectoriel quelconque et $f: E \to F$ une application linéaire. Démontrer que : a) Pour tout sous-espace vectoriel $G$ de $E$, on a : $\dim(G) = \dim(f(G)) + \dim(G \cap Ker(f))$ b) Pour tout…

Exercices Corrigés : Applications Linéaires Exercice 1 Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $F_1, F_2, \dots, F_k$ des sous-espaces vectoriels de $E$ avec $k \ge 2$. Démontrer que si $\sum_{j=1}^{k} \dim(F_j) > n(k-1)$, alors $\bigcap_{j=1}^{k} F_j \neq \{0\}$. Solution 1 Considérons l’application linéaire $f: E \to E/F_1 \times \dots \times E/F_k$…

Rang d’une Application Linéaire et d’une Matrice Définition et Propriétés de Base Rappelons qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ peut être interprétée comme une application linéaire de $K^n$ dans $K^m$ via $X \mapsto AX$. Le rang d’un système de vecteurs $(v_1, \dots, v_p)$ est la dimension du sous-espace vectoriel qu’ils engendrent : $rg(v_1, \dots, v_p) =…

Matrice de Passage et Changement de Base Changement de Base Considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et deux bases de cet espace, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_n)$. Chaque vecteur de la « nouvelle » base $\beta’$ peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs…

Matrice d’une Application Linéaire Définition : Matrice d’une Application Linéaire Soient $E$ and $F$ deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement des bases $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_m)$. Soit $f: E \to F$ une application linéaire. Pour chaque vecteur $e_j$ de la base de départ, son image $f(e_j)$…

Trace d’une Matrice Carrée Définition : Trace d’une Matrice Carrée Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée à coefficients dans $K$. On définit la trace de $A$, notée $tr(A)$, comme la somme de ses éléments diagonaux : $$ tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$ Proposition : Propriétés…

Matrices de Transvection, Dilatation et Génération de GLn(K) On désigne par $GL_n(\mathbb{K})$ (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) le groupe des matrices inversibles d’ordre $n$, appelé groupe linéaire. Son sous-groupe des matrices de déterminant 1 est noté $SL_n(\mathbb{K})$ et appelé groupe linéaire spécial. Définition : Matrices de Transvection et de Dilatation Soit $n$ un entier $\ge 2$….

Matrices Élémentaires Définition : Matrices Élémentaires Soit $K$ un corps commutatif. Pour chaque couple d’indices $(i,j)$ tel que $1 \le i \le m$ et $1 \le j \le n$, on définit la matrice élémentaire $E_{ij}$ de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ comme étant la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui situé à la $i$-ème…