Division Euclidienne dans Z et K[X] Introduction : Le Concept Fondateur La division euclidienne est sans doute l'algorithme le plus fondamental de l'arithmétique. Enseignée dès l'école primaire pour les nombres…
Le Lemme de Gauss Introduction : Le Pilier de l'Unicité Le lemme de Gauss, également connu sous le nom de lemme d'Euclide dans le contexte des entiers, est un résultat…
Éléments Irréductibles et Premiers Introduction : Deux Visages de la Primalité Dans l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$, la notion de "nombre premier" est familière. Un nombre comme 5 a deux propriétés…
Factorisation dans les Anneaux Principaux Introduction : Le Théorème Fondamental de l'Arithmétique Généralisé Le théorème fondamental de l'arithmétique nous apprend que tout entier supérieur à 1 peut être écrit de…
Identité de Bézout Généralisée Introduction : De Deux à Plusieurs Éléments L'identité de Bézout est un pilier de l'arithmétique dans les anneaux euclidiens et principaux. Dans sa forme la plus…
L'Algorithme d'Euclide Étendu Introduction : Au-delà du PGCD L'algorithme d'Euclide est l'une des plus anciennes et des plus célèbres procédures mathématiques, utilisée pour trouver le plus grand commun diviseur (PGCD)…
Exemples d'Anneaux Euclidiens Introduction : La Division Euclidienne en Action La notion d'anneau euclidien formalise l'existence d'une division "avec un reste plus petit". Pour qu'une telle définition soit utile, il…
Théorème : Tout Anneau Euclidien est Principal Introduction : De l'Algorithme à la Structure En algèbre, on établit souvent une hiérarchie entre les différentes structures d'anneaux. Les anneaux factoriels permettent…
Définition d'un Anneau Euclidien Introduction : La Division Euclidienne comme Fondement Nous avons vu que les anneaux principaux possèdent de très belles propriétés arithmétiques. La raison pour laquelle les deux…
Propriétés des Anneaux Principaux Introduction : Quand la Simplicité Engendre la Richesse Un anneau principal est un anneau intègre commutatif dont tous les idéaux sont principaux, c'est-à-dire engendrés par un…