Introduction aux Fonctions Vectorielles Après avoir étudié la topologie de $\mathbb{R}^n$, nous allons maintenant nous intéresser aux fonctions qui prennent leurs valeurs dans ces espaces. Une fonction vectorielle est une fonction dont la variable peut… 

Connexité par Arcs dans Rⁿ La connexité par arcs est une notion qui correspond plus directement à l’intuition de « d’un seul tenant ». Elle stipule que l’on peut voyager d’un point à un autre d’un ensemble… 

Définition des Parties Connexes La notion de connexité formalise l’idée intuitive d’un ensemble qui est « d’un seul morceau ». Contrairement à la compacité, la connexité ne dépend pas de la notion de distance ou de bornitude,… 

Le Théorème de Borel-Lebesgue Le théorème de Borel-Lebesgue est l’un des piliers de l’analyse réelle. Il établit un pont entre une notion topologique abstraite (la compacité de Borel-Lebesgue, définie par les recouvrements d’ouverts) et des… 

Définition des Parties Compactes La notion de compacité est une généralisation de la propriété fondamentale des segments $[a, b]$ de $\mathbb{R}$. Intuitivement, un ensemble compact est un ensemble qui ne « fuit » ni à l’infini (il… 

Intérieur, Adhérence et Frontière Pour tout sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}^n$, on peut distinguer trois types de points : ceux qui sont « bien à l’intérieur » de $A$, ceux qui sont « sur le bord », et ceux qui,… 

Propriétés des Ensembles Ouverts Les ensembles ouverts de $\mathbb{R}^n$ ne sont pas des objets isolés ; ils possèdent une structure remarquable qui est définie par leur comportement vis-à-vis des opérations ensemblistes de base : l’union… 

Ensembles Ouverts et Fermés de $\mathbb{R}^n$ Grâce à la notion de distance, nous pouvons maintenant définir rigoureusement ce que signifie pour un point d’être « à l’intérieur » d’un ensemble ou sur sa « frontière ». Ces idées sont… 

Équivalence des Normes en $\mathbb{R}^n$ Nous avons vu qu’il existe plusieurs manières de définir une norme sur $\mathbb{R}^n$. Une question naturelle se pose : les notions d’analyse (convergence, continuité…) dépendent-elles de la norme que l’on… 

Normes et Distances sur $\mathbb{R}^n$ Pour généraliser les concepts d’analyse de $\mathbb{R}$ (comme la convergence des suites ou la continuité des fonctions) à des espaces de dimension supérieure comme $\mathbb{R}^n$, nous avons besoin d’outils pour…