Comment Démontrer qu’un Ensemble est un Sous-Espace Vectoriel En algèbre linéaire, l’une des questions les plus fondamentales est de savoir si un certain sous-ensemble d’un espace vectoriel en est un sous-espace vectoriel. Heureusement, il n’est…
Contexte : Comment améliorer un estimateur ? En statistique inférentielle, l’objectif est d’estimer un paramètre inconnu $\theta$ d’une population à partir d’un échantillon. On peut souvent trouver un estimateur simple et non biaisé, mais est-ce…
Contexte : La Régression Linéaire En statistique, on cherche souvent à modéliser une variable $Y$ en fonction d’autres variables $X$ à l’aide d’une relation linéaire. Le modèle s’écrit sous forme matricielle : $$ Y =…
Théorème de Glivenko-Cantelli Contexte : Estimer une loi de probabilité En statistiques, une question fondamentale est : comment estimer la loi de probabilité d’un phénomène à partir d’un échantillon de données ? La fonction de…
Contexte : Contrôler les Écarts à la Moyenne L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un résultat de la théorie des probabilités qui donne une borne supérieure à la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de son espérance. Son…
Contexte : Borner une Probabilité En probabilités, on cherche souvent à estimer la probabilité d’un événement « rare » ou « extrême ». L’inégalité de Markov fournit une première réponse, une « borne supérieure », à cette question. Sa grande force…
Théorème de Bayes Contexte : Inverser les Probabilités Conditionnelles Le théorème de Bayes, ou règle de Bayes, est une formule qui permet de « retourner » une probabilité conditionnelle. Il décrit la probabilité d’un événement, basée sur…
Théorème de De Moivre-Laplace Contexte : La Loi Binomiale La loi binomiale est l’une des lois de probabilité les plus courantes. Elle modélise le nombre de « succès » que l’on obtient en répétant $n$ fois une…
Contexte : La Somme de l’Aléatoire Imaginez que vous répétiez une expérience aléatoire un grand nombre de fois. Par exemple, lancer un dé, mesurer la taille d’une personne prise au hasard, ou observer le rendement…
Contexte : Inverser les Probabilités Conditionnelles Le théorème de Bayes, ou règle de Bayes, est une formule qui permet de « retourner » une probabilité conditionnelle. Il décrit la probabilité d’un événement, basée sur une connaissance a…