Auteur/autrice : zu6vi

Maîtriser les Développements Limités Usuels en 0 Les développements limités des fonctions usuelles sont les briques de base de tous les calculs. Il est impératif de les connaître par cœur. Cette fiche se concentre sur les 4 plus importants et donne des astuces pour les retenir. La fonction exponentielle : $e^x$ C’est le DL le…

Comment Calculer le Développement Limité d’une Fonction en 0 Un développement limité (DL) d’une fonction $f$ au voisinage de 0 à l’ordre $n$ est une approximation de $f(x)$ par un polynôme de degré au plus $n$. L’erreur commise dans cette approximation est contrôlée par le terme $o(x^n)$, qui représente une fonction négligeable devant $x^n$ quand…

Comment Montrer qu’une Fonction est Lipschitzienne Une fonction lipschitzienne est une fonction dont le taux d’accroissement est borné sur son domaine. Intuitivement, cela signifie que la pente des cordes reliant deux points quelconques de la courbe ne peut pas dépasser une certaine valeur. C’est une condition de régularité plus forte que la continuité uniforme. Définition…

Fonctions de Classe Ck et C-infini En analyse mathématique, on ne se contente pas de savoir si une fonction est dérivable. On s’intéresse aussi à la « qualité » de cette dérivabilité. La notion de classe de régularité (notée $C^k$) permet de classifier les fonctions selon le nombre de fois qu’elles peuvent être dérivées et si leurs…

Comment Utiliser la Dérivabilité pour Trouver une Limite La dérivée est un outil puissant non seulement pour étudier les variations des fonctions, mais aussi pour calculer des limites qui présentent une forme indéterminée. Il existe deux techniques principales basées sur la dérivation. Méthode 1 : Reconnaître la Définition du Nombre Dérivé Cette technique est très…

Comment Appliquer la Formule de Leibniz pour la Dérivée n-ième La formule de Leibniz est une généralisation de la formule de dérivation d’un produit à un ordre de dérivation quelconque $n$. Elle est très similaire à la formule du binôme de Newton, ce qui la rend facile à mémoriser. Formule de Leibniz Soient $f$ et…

Comment Montrer qu’une Fonction n’est pas Dérivable en un Point Une fonction n’est pas dérivable en un point $a$ si la limite du taux d’accroissement en ce point n’existe pas ou est infinie. Géométriquement, cela signifie que la courbe n’admet pas de tangente unique et « non verticale » en ce point. La Méthode Fondamentale : Le…

Comment Trouver les Extrema Locaux d’une Fonction Les extrema locaux (ou relatifs) d’une fonction correspondent aux « sommets des collines » (maximums locaux) et aux « fonds des vallées » (minimums locaux) de sa courbe. Un point est un extremum local si c’est le point le plus haut ou le plus bas dans un petit voisinage autour de lui….

Comment Appliquer le Théorème de Rolle Le théorème de Rolle est un résultat d’existence qui garantit qu’une courbe « lisse » qui part d’une altitude et arrive à la même altitude doit avoir au moins un point intermédiaire où sa tangente est horizontale. Énoncé du Théorème de Rolle Soit $f$ une fonction et $[a, b]$ un segment….

Comment Trouver l’Équation de la Tangente à une Courbe L’une des applications les plus directes du nombre dérivé est le calcul de l’équation de la tangente à une courbe en un point donné. La tangente est la droite qui « effleure » la courbe en ce point et qui a la même direction qu’elle. Formule de l’Équation…