Propriétés de l’Intégrale de Riemann Relation de Chasles Proposition : Relation de Chasles Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $c$ un point de l’intervalle $]a, b[$. Alors, $f$ est intégrable sur…
Construction de l’intégrale d’une fonction bornée Définition : Fonction Intégrable au Sens de Riemann Une fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est dite intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si, pour tout $\epsilon > 0$,…
Définition : Subdivision d’un Intervalle On appelle subdivision d’un intervalle $[a, b]$, toute suite finie et strictement croissante de points $\sigma = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ telle que : $$ a = x_0 < x_1…
Exercices Corrigés : Développement Limité Exercice 1 Calculer $e^{1/6}$ et $\ln(4/3)$ à $10^{-3}$ près. Solution 1 1. On utilise la formule de Taylor-Lagrange pour $e^x$ en 0. L’erreur est majorée par $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}e^c$. Pour $x=1/6$, l’erreur…
Exercices Corrigés : Dérivabilité Exercice 1 1. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point $x_0$ indiqué : a) $f(x) = \begin{cases} xe^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x…
Exercices Corrigés : Fonctions Réelles d’une Variable Réelle Exercice 1 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : a) $f(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$ b) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2-4x+3}$ c) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2+3x+2}$ Solution 1 a) $D_f…
Exercices Corrigés : Suites de Nombres Réels Exercice 1 En utilisant la définition de la limite, montrer que : 1) $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2}$ 2) $\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=0$ 3) $\lim_{n\to+\infty}\frac{2\ln(1+n)}{\ln n}=2$ 4) $\lim_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ 5) $\lim_{n\to+\infty}\frac{-5n^2-2}{4n}=-\infty$ 6) $\lim_{n\to+\infty}\ln(\ln n)=+\infty$ Solution 1…
Exercices Corrigés : Nombres Complexes Exercice 1 Écrire sous forme algébrique puis exponentielle les nombres complexes suivants : $z_1 = \frac{2+2\sqrt{3}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}$, $z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}+i}{8i}\right)^{2}$, $z_3 = \left[\frac{1+i-\sqrt{3}(1-i)}{1+i}\right]^{2}$, $z_4 = \frac{(1+i)^{4}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}$. Solution 1 $z_1 = \sqrt{2}…
Exercices Corrigés : Le Corps des Nombres Réels Exercice 1 1. Montrer les inégalités suivantes : a) $|x|+|y| \le |x+y|+|x-y|$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. b) $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$, pour tous $x, y \in…
Chapitre 7 : Courbes Paramétrées Définition Définition : Courbe Paramétrée Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un même sous-ensemble $I$ de $\mathbb{R}$. Lorsque la variable $t$ parcourt $I$, le point $M(t)$ de coordonnées…