Fonctions Puissances Définition : Fonction Puissance Entière Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle fonction puissance n-ième l’application $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$. Cette fonction est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est…
Définition : Fonctions Convexes et Concaves Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite : Convexe si pour tous $x_0, x_1 \in I$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, on a : $$…
Les règles de de l’Hospital fournissent une méthode puissante pour lever les indéterminations du type $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ lors du calcul de limites de quotients de fonctions. Règles de de l’Hospital Soient $f$ et $g$…
Dérivées Successives Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Sa fonction dérivée $f’$ est elle-même une fonction. Si $f’$ est à son tour dérivable sur $I$, on note sa dérivée $f »$ ou…
Dérivée d’une fonction composée Proposition : Règle de Dérivation en Chaîne Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0$, et $g$ une fonction définie sur un voisinage $J$ de $f(x_0)$. Si…
Dérivée d’une fonction Définition : Dérivée en un Point Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite du…
Propriétés des Fonctions Monotones et Réciproques Théorème : Monotonie Stricte et Injectivité Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est strictement monotone sur $I$, alors $f$ est injective…
Rappels : Injection, Surjection, Bijection Soit $f: E \to F$ une fonction entre deux parties de $\mathbb{R}$. $f$ est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ a au plus un antécédent dans $E$. Formellement…
Définition : Continuité sur un Intervalle Une fonction définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur I si elle est continue en tout point de cet intervalle. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Soit $f$…
Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$. Si un point $x_0$ n’appartient pas à $D_f$ mais que $f$ admet une limite finie $l$ en $x_0$, on peut « combler le trou » dans la définition…