Algèbre linéaire et bilinéaire

Exercices Corrigés : Espaces Hermitiens Exercice 1 Soit $E$ un espace préhilbertien complexe. Montrer que si $u$ est un endomorphisme de $E$ tel que $\langle u(x), x \rangle = 0$…

Inégalité de Cauchy-Schwarz (Hermitien) Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d'une forme hermitienne positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a…

Endomorphismes d'un Espace Hermitien Endomorphisme adjoint Proposition : Existence et Unicité de l'Adjoint Soit $E$ un espace hermitien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$…

Produit Hermitien et Espaces Hermitiens Définition et exemples Définition : Produit Scalaire Hermitien Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une forme hermitienne $f$ est dite positive si $\forall x \in E,…

Exercices Corrigés : Formes et Espaces Hermitiens Exercice 1 Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$. Montrer que si $f(x,x)$ est réel pour tout $x \in E$,…

Formes Quadratiques Hermitiennes et Méthode de Gauss Définition et propriétés élémentaires Définition : Forme Quadratique Hermitienne Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une application $q: E \to \mathbb{C}$ est une forme…

Orthogonalité et Bases Orthogonales (Hermitien) Orthogonalité Définition : Orthogonalité Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. On…

Formes Hermitiennes Non Dégénérées Définition : Forme Hermitienne Non Dégénérée Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. On peut associer à $f$ une application $\Phi:…

Rang d'une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$. Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$, et notons…

Écriture Matricielle et Changement de Base Écriture Matricielle Expression Matricielle d'une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d'une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$.…