Algèbre linéaire et bilinéaire

Exercices Corrigés : Espaces Hermitiens Exercice 1 Soit $E$ un espace préhilbertien complexe. Montrer que si $u$ est un endomorphisme de $E$ tel que $\langle u(x), x \rangle = 0$ pour tout $x \in E$, alors $u=0$. Ce résultat est-il vrai si $E$ est un espace préhilbertien réel ? Solution 1 On utilise l’identité de…

Inégalité de Cauchy-Schwarz (Hermitien) Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d’une forme hermitienne positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a : $$ |f(x,y)|^2 \le f(x,x) f(y,y) $$ Démonstration Soient $x, y \in E$. Pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{C}$, considérons le vecteur $\lambda x +…

Endomorphismes d’un Espace Hermitien Endomorphisme adjoint Proposition : Existence et Unicité de l’Adjoint Soit $E$ un espace hermitien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$ de $E$ qui satisfait la relation suivante pour tous vecteurs $x, y \in E$ : $$ \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle…

Produit Hermitien et Espaces Hermitiens Définition et exemples Définition : Produit Scalaire Hermitien Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une forme hermitienne $f$ est dite positive si $\forall x \in E, f(x,x) \ge 0$. Une forme hermitienne $f$ est dite définie positive si elle est positive et si $f(x,x) = 0 \implies x=0$. Un produit scalaire…

Exercices Corrigés : Formes et Espaces Hermitiens Exercice 1 Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$. Montrer que si $f(x,x)$ est réel pour tout $x \in E$, alors $f$ est une forme hermitienne. Solution 1 On utilise l’identité de polarisation. Pour tous $x,y \in E$, on a : $f(x+y, x+y) = f(x,x)…

Formes Quadratiques Hermitiennes et Méthode de Gauss Définition et propriétés élémentaires Définition : Forme Quadratique Hermitienne Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une application $q: E \to \mathbb{C}$ est une forme quadratique hermitienne sur $E$ s’il existe une forme sesquilinéaire $f$ sur $E$ telle que : $$ \forall x \in E, \quad q(x) = f(x,x) $$…

Orthogonalité et Bases Orthogonales (Hermitien) Orthogonalité Définition : Orthogonalité Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. On définit l’orthogonal de A, noté $A^\perp$, comme l’ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de $A$ : $$ y \in…

Formes Hermitiennes Non Dégénérées Définition : Forme Hermitienne Non Dégénérée Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. On peut associer à $f$ une application $\Phi: E \to E^*$ qui à un vecteur $y \in E$ fait correspondre la forme linéaire $\varphi_y$ définie par $\varphi_y(x) = f(x,y)$. La forme hermitienne $f$…

Rang d’une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$. Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$, et notons $A$ et $B$ les matrices respectives de $f$ dans ces bases. Si $P$ est la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$, la formule de…

Écriture Matricielle et Changement de Base Écriture Matricielle Expression Matricielle d’une Forme Sesquilinéaire Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$. Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$ et $A$ sa matrice dans la base $\beta$. Pour deux vecteurs $x, y \in E$, si on note…