Algèbre linéaire et bilinéaire

Matrices de Transvection, Dilatation et Génération de GLn(K) On désigne par $GL_n(\mathbb{K})$ (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) le groupe des matrices inversibles d’ordre $n$, appelé groupe linéaire. Son sous-groupe des matrices de déterminant 1 est noté $SL_n(\mathbb{K})$ et appelé groupe linéaire spécial. Définition : Matrices de Transvection et de Dilatation Soit $n$ un entier $\ge 2$….

Matrices Élémentaires Définition : Matrices Élémentaires Soit $K$ un corps commutatif. Pour chaque couple d’indices $(i,j)$ tel que $1 \le i \le m$ et $1 \le j \le n$, on définit la matrice élémentaire $E_{ij}$ de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ comme étant la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui situé à la $i$-ème…

Opérations sur les Matrices Définition : Matrice Soit $K$ un corps commutatif. Une matrice à coefficients dans $K$ est un arrangement rectangulaire d’éléments de $K$, organisé en lignes et en colonnes. Formellement, il s’agit d’une suite double finie $(a_{ij})_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ d’éléments de $K$. Remarque Une matrice $A=(a_{ij})$…

Affinités, Dilatations et Transvections Définition : Affinité Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$), et $\lambda \in K$ un scalaire. On appelle affinité de base $F$, de direction $G$ et de rapport $\lambda$, l’application $u: E \to E$ définie par : $$ u(x) = x_1 +…

Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel Définition : Symétrie Vectorielle Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$). La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application $s_F : E \to E$ qui à un vecteur $x = x_1…

Projections et Projecteurs Définition : Projection et Projecteur Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$). On appelle projection sur F parallèlement à G l’application $p_F : E \to E$ qui, à tout vecteur $x = x_1 +…

Endomorphismes et Automorphismes Définition : Endomorphismes et Automorphismes Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application linéaire de $E$ dans lui-même ($u: E \to E$) est appelée un endomorphisme de $E$. Un endomorphisme qui est également bijectif est appelé un automorphisme de $E$. Notations On désigne par $L_K(E)$ l’ensemble de tous les endomorphismes de $E$, et…

Décomposition Canonique et Théorème du Rang Théorème : Décomposition Canonique Soit $f: E \to F$ une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Il existe un isomorphisme canonique unique, noté $\bar{f}$, qui relie l’espace quotient $E/Ker(f)$ à l’image $Im(f)$. Cette relation s’inscrit dans un diagramme commutatif où $f$ est la composition de trois applications fondamentales :…

Noyau et Image d’une Application Linéaire Proposition : Noyau et Image Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels et $f: E \to F$ une application linéaire. L’image par $f$ de tout sous-espace vectoriel de $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$. En particulier, l’ensemble $f(E)$, appelé image de f et noté $Im(f)$, est un sous-espace…

Définition et Propriétés de Base Définition : Application Linéaire Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un même corps $K$. Une application $f: E \to F$ est qualifiée de linéaire (ou K-linéaire) si elle respecte la structure d’espace vectoriel, c’est-à-dire si elle vérifie les deux conditions suivantes : Additivité : $\forall x, y \in…