Algèbre linéaire et bilinéaire

Théorème d’Inertie de Sylvester Théorème d’Inertie de Sylvester Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$ de rang $r$, et $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthogonale pour $f$. Soit $p$ le nombre de vecteurs de base $e_i$ pour lesquels $f(e_i, e_i) > 0$, et $q$ le nombre…

Bases Orthonormales Définition : Base Orthonormale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est dite orthonormale pour $f$ si elle est orthogonale et si, de plus, l’image de chaque vecteur de base par la forme quadratique associée est égale…

Méthode de Gauss de Réduction d’une Forme Quadratique Méthode de Gauss de Réduction d’une Forme Quadratique La méthode de Gauss est un algorithme qui permet de décomposer n’importe quelle forme quadratique en une somme ou une différence de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. Ce processus, également appelé « réduction en carrés », est essentiel pour déterminer…

Formes Quadratiques : Définitions et Propriétés Élémentaires Définition : Forme Quadratique Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application $q: E \to K$ est une forme quadratique sur $E$ s’il existe une forme bilinéaire $f$ sur $E$ telle que : $$ \forall x \in E, \quad q(x) = f(x,x) $$ Exemple Si $f$ est une forme…

Bases Orthogonales Définition : Base Orthogonale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ est dite orthogonale pour la forme $f$ si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux : $$ \forall i \neq j, \quad f(e_i, e_j)…

Isotropie Définition : Isotropie Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $f(x, y) = 0$. Un vecteur $x \in E$ est dit isotrope si $f(x, x) = 0$. L’ensemble des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope de…

Orthogonalité par rapport à une Forme Bilinéaire Définition : Orthogonalité Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. On définit l’orthogonal de A par rapport à f, noté $A^\perp$, comme l’ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs…

Formes Bilinéaires Symétriques Non Dégénérées Définition : Forme Bilinéaire Non Dégénérée Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On peut associer à $f$ une application linéaire $\Phi: E \to E^*$ qui à un vecteur $y \in E$ fait correspondre la forme linéaire $\varphi_y$ définie par $\varphi_y(x) = f(x,y)$. La…

Rang d’une Forme Bilinéaire Rappelons que deux matrices $A$ et $B$ sont dites équivalentes s’il existe des matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $B=QAP$. Une propriété fondamentale est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Définition : Matrices Congruentes Soit $K$ un corps commutatif. Deux matrices carrées…

Changement de Base pour les Formes Bilinéaires Proposition : Formule de Changement de Base Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $\beta$ et $\beta’$ deux bases de $E$, et $f$ une forme bilinéaire sur $E$. Notons $A$ la matrice de $f$ dans la base $\beta$, et $B$ la matrice de $f$ dans…