Algèbre linéaire et bilinéaire

Écriture Matricielle d’une Forme Bilinéaire Écriture Matricielle Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$. Soit $f$ une forme bilinéaire sur $E$ et $A$ sa matrice représentative dans la base $\beta$. Pour tout vecteur $x \in E$, on note $X$ la matrice colonne de ses coordonnées…

Matrice d’une Forme Bilinéaire Définition : Matrice d’une Forme Bilinéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour une forme bilinéaire $f$ sur $E$, on appelle matrice de f par rapport à la base $\beta$ la matrice carrée $A=(a_{ij})$ d’ordre $n$…

Formes Bilinéaires : Définitions et Propriétés Élémentaires Définition : Forme Bilinéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel sur un corps commutatif $K$. a) Une application $f: E \times E \to K$ est une forme bilinéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables. Autrement dit : Pour tout $y \in…

Équation Différentielle Linéaire Homogène Définition : Équation Différentielle Linéaire Homogène Une équation différentielle linéaire homogène d’ordre n à coefficients constants est une équation de la forme : $$ y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = 0 $$ où les $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ sont des scalaires (réels ou complexes) et…

Solutions Réelles des Systèmes Différentiels Gestion des Valeurs Propres Complexes Nous nous intéressons à la résolution du système différentiel $X'(t) = AX(t)$ où $A$ est une matrice à coefficients réels, mais dont le polynôme caractéristique n’est pas nécessairement scindé sur $\mathbb{R}$. Un résultat fondamental sur les polynômes à coefficients réels est que si $\lambda \in…

Résolution Pratique d’un Système Différentiel Méthode utilisant directement l’Exponentielle Soit une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses valeurs propres distinctes, de multiplicités respectives $m_1, \dots, m_r$. La solution générale du système $X'(t) = AX(t)$ peut être exprimée à l’aide des sous-espaces caractéristiques $N_i =…

Définition d’un Système Différentiel Définition : Système Différentiel Linéaire Un système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants est un ensemble de $n$ équations différentielles de la forme : $$ (S) \quad \begin{cases} x’_1(t) = a_{11}x_1(t) + a_{12}x_2(t) + \dots + a_{1n}x_n(t) \\ x’_2(t) = a_{21}x_1(t) + a_{22}x_2(t) + \dots + a_{2n}x_n(t) \\…

Exponentielle d’une Matrice Par analogie avec la série entière qui définit l’exponentielle pour les nombres réels et complexes ($e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$), nous allons définir l’exponentielle d’une matrice carrée. Proposition : Convergence de la Série Exponentielle Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la série matricielle $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$ est convergente. Démonstration L’espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est une algèbre…

Norme d’une Matrice Proposition : Norme d’Opérateur Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on définit l’application $N(A)$ par : $$ N(A) = \sup_{X \in \mathbb{C}^n, X \neq 0} \frac{\|AX\|}{\|X\|} $$ où $\| \cdot \|$ est l’une des normes usuelles sur $\mathbb{C}^n$ ($\| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2$ ou $\| \cdot \|_\infty$). Cette application vérifie les…

Technique de Jordanisation en Petites Dimensions Cette section présente une approche pratique pour déterminer la forme réduite de Jordan d’un endomorphisme $u$ sur un K-espace vectoriel $E$ de petite dimension $n$. On suppose que son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$. Cas où n = 2 Le polynôme caractéristique est de degré 2. $\chi_u(X)…