Algèbre linéaire et bilinéaire

Théorème de Cayley-Hamilton Théorème de Cayley-Hamilton Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors le polynôme caractéristique de $u$ est un polynôme annulateur pour $u$. Autrement dit : $$ \chi_u(u) = 0 $$ Une conséquence directe est que le polynôme minimal $M_u$ divise le polynôme caractéristique $\chi_u$. Démonstration…

Polynôme Caractéristique Définition : Polynôme Caractéristique d’une Matrice Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle polynôme caractéristique de $A$, noté $\chi_A$, le déterminant de la matrice $XI_n – A$, où $X$ est une indéterminée. $$ \chi_A(X) = \det(XI_n – A) $$ Remarque Concrètement, le polynôme…

Polynôme Minimal Théorème : Existence et Unicité du Polynôme Minimal Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique polynôme $P \in K[X]$, unitaire et non constant, qui vérifie les deux conditions suivantes : $P$ est un polynôme annulateur de $u$, c’est-à-dire $P(u)…

Polynômes d’Endomorphismes : Notations et Définitions Notations et Définitions Soit $E$ un K-espace vectoriel. Pour un endomorphisme $u$ de $E$ et un entier $m \ge 0$, on définit les puissances de $u$ par récurrence : Pour $m=0$, on pose $u^0 = Id_E$ (l’application identité). Pour $m \ge 1$, on pose $u^m = u \circ u^{m-1}$….

Exercices Corrigés : Formes Multilinéaires et Déterminants Exercice 1 Soit $M$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par $m_{ij}$ valant $a$ si $i=j$, $b$ si $ij$. Calculer $\det(M)$. Solution 1 On distingue deux cas principaux. Cas 1 : $b \neq c$ On utilise une astuce consistant à introduire un polynôme. Soit $J$ la matrice dont tous…

Déterminant de Vandermonde Proposition : Déterminant de Vandermonde Soit $K$ un corps commutatif, $n \ge 2$ un entier, et $a_1, a_2, \dots, a_n$ des éléments de $K$. Le déterminant de Vandermonde associé à ces scalaires est le déterminant de la matrice $V(a_1, \dots, a_n)$ définie par : $$ V(a_1, a_2, \dots, a_n) = \det \begin{pmatrix}…

Inverse d’une Matrice Théorème : Formule de l’Inverse par la Comatrice Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$, et $\tilde{A}$ sa matrice adjointe (la transposée de sa comatrice). Alors, on a la relation fondamentale suivante : $$ A \tilde{A} = \tilde{A} A = \det(A) I_n $$ où $I_n$ est…

Développement d’un Déterminant Définition : Mineur, Cofacteur et Comatrice Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle mineur relatif au coefficient $a_{ij}$, noté $\Delta_{ij}$, le déterminant de la matrice d’ordre $n-1$ obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $A$. Le cofacteur de…

Déterminant d’une Matrice Définition : Déterminant d’une Matrice Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans $K$. On définit le déterminant de A, noté $\det(A)$, par la formule de Leibniz : $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} a_{\sigma(2),2} \dots a_{\sigma(n),n}…

Déterminant d’un Endomorphisme Proposition : Indépendance de la Base Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$, et $u$ un endomorphisme de $E$. La valeur du déterminant de l’image de la base $\beta$ par $u$, calculée par rapport à cette même base $\beta$, est une…