Définition : Polynôme Caractéristique d’une Matrice
Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle polynôme caractéristique de $A$, noté $\chi_A$, le déterminant de la matrice $XI_n – A$, où $X$ est une indéterminée. $$ \chi_A(X) = \det(XI_n – A) $$
Remarque
Concrètement, le polynôme caractéristique se calcule comme suit : $$ \chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X – a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & X – a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & X – a_{nn} \end{pmatrix} $$
Exemple pour n=2
Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, son polynôme caractéristique est : $$ \chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X-a & -b \\ -c & X-d \end{pmatrix} = (X-a)(X-d) – bc = X^2 – (a+d)X + (ad-bc) $$ On reconnaît la formule : $\chi_A(X) = X^2 – tr(A)X + \det(A)$.
Proposition : Forme du Polynôme Caractéristique
Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$, son polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ est un polynôme unitaire de degré $n$.
Démonstration
D’après la formule de Leibniz, $\det(XI-A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n (XI-A)_{i, \sigma(i)}$. Le seul terme de cette somme qui peut atteindre le degré $n$ est celui associé à la permutation identité ($\sigma=id$), qui donne le produit des termes diagonaux : $\prod_{i=1}^n (X – a_{ii})$. Ce produit est un polynôme unitaire de degré $n$. Pour toute autre permutation $\sigma \neq id$, il existe au moins un indice $i_0$ tel que $\sigma(i_0) \neq i_0$, ce qui signifie que le terme $(XI-A)_{i_0, \sigma(i_0)}$ est un scalaire (degré 0). Le degré du produit correspondant est donc strictement inférieur à $n$. Par conséquent, le terme de plus haut degré de $\chi_A(X)$ est $X^n$, et le polynôme est bien unitaire de degré $n$.
Proposition : Invariance par Similitude
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
Démonstration
Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{-1}AP$. Calculons le polynôme caractéristique de $B$ : $$ \chi_B(X) = \det(XI – B) = \det(XI – P^{-1}AP) $$ $$ = \det(P^{-1}(XI)P – P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(XI-A)P) $$ En utilisant la multiplicativité du déterminant, on obtient : $$ \det(P^{-1})\det(XI-A)\det(P) = \det(XI-A) = \chi_A(X) $$ Les polynômes caractéristiques sont donc identiques.
Définition : Polynôme Caractéristique d’un Endomorphisme
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On appelle polynôme caractéristique de u, noté $\chi_u$, le polynôme caractéristique de n’importe quelle matrice représentant $u$ dans une base de $E$.
Remarque
- Cette définition est cohérente car, d’après la proposition précédente, toutes les matrices représentant le même endomorphisme dans des bases différentes sont semblables et ont donc le même polynôme caractéristique.
- Si $\dim(E)=n$, alors le degré de $\chi_u$ est $n$.
- Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont en général distincts.
Exemples
- Si $u=0$, son polynôme minimal est $M_u(X)=X$ et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=X^n$.
- Si $u=Id_E$, son polynôme minimal est $M_u(X)=X-1$ et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=(X-1)^n$.
- Si $u$ est un projecteur de rang $n-p$ (avec $p=\dim(Ker(u))$), son polynôme minimal est $M_u(X)=X(X-1)$ (si $p \notin \{0,n\}$), et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=X^p(X-1)^{n-p}$.