Algèbre linéaire et bilinéaire

Espace Vectoriel Dual Définition : Espace Vectoriel Dual Soit $E$ un K-espace vectoriel. On appelle espace vectoriel dual de $E$, noté $E^*$, l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires sur $E$. On a donc : $$ E^* = L(E, K) $$ Notations Pour un vecteur $x \in E$ et une forme linéaire $\varphi \in E^*$,…

Formes Linéaires et Hyperplans Définition : Forme Linéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ vers son corps de scalaires $K$. Remarque Rappelons qu’un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ est un hyperplan si la dimension de l’espace quotient $E/H$ est égale à 1. Dans le cas…

Exercices Corrigés : Matrices et Applications Linéaires de Matrices Exercice 1 Soit $K$ un corps commutatif et $\mathcal{H} = Vect(\{AB-BA \mid (A,B) \in (\mathcal{M}_n(K))^2\})$. Montrer que pour tous $i \neq j$, la matrice élémentaire $E_{ij}$ appartient à $\mathcal{H}$. Montrer que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la matrice $E_{ii} – E_{nn}$ appartient à $\mathcal{H}$….

Exercices Corrigés : Projecteurs Exercice 1 Soit $u$ un projecteur d’un K-espace vectoriel $E$. Démontrer les affirmations suivantes : $Id_E – u$ est également un projecteur. $Im(u) = Ker(Id_E – u)$. $E = Ker(u) \oplus Im(u)$. Si $E$ est de dimension finie, alors $rg(u) = tr(u)$. Solution 1 a) On calcule $(Id_E – u)^2 =…

Exercices Corrigés : Rang et Théorème du Rang Exercice 1 Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $F$ un K-espace vectoriel quelconque et $f: E \to F$ une application linéaire. Démontrer que : a) Pour tout sous-espace vectoriel $G$ de $E$, on a : $\dim(G) = \dim(f(G)) + \dim(G \cap Ker(f))$ b) Pour tout…

Exercices Corrigés : Applications Linéaires Exercice 1 Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $F_1, F_2, \dots, F_k$ des sous-espaces vectoriels de $E$ avec $k \ge 2$. Démontrer que si $\sum_{j=1}^{k} \dim(F_j) > n(k-1)$, alors $\bigcap_{j=1}^{k} F_j \neq \{0\}$. Solution 1 Considérons l’application linéaire $f: E \to E/F_1 \times \dots \times E/F_k$…

Rang d’une Application Linéaire et d’une Matrice Définition et Propriétés de Base Rappelons qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ peut être interprétée comme une application linéaire de $K^n$ dans $K^m$ via $X \mapsto AX$. Le rang d’un système de vecteurs $(v_1, \dots, v_p)$ est la dimension du sous-espace vectoriel qu’ils engendrent : $rg(v_1, \dots, v_p) =…

Matrice de Passage et Changement de Base Changement de Base Considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et deux bases de cet espace, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_n)$. Chaque vecteur de la « nouvelle » base $\beta’$ peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs…

Matrice d’une Application Linéaire Définition : Matrice d’une Application Linéaire Soient $E$ and $F$ deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement des bases $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_m)$. Soit $f: E \to F$ une application linéaire. Pour chaque vecteur $e_j$ de la base de départ, son image $f(e_j)$…

Trace d’une Matrice Carrée Définition : Trace d’une Matrice Carrée Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée à coefficients dans $K$. On définit la trace de $A$, notée $tr(A)$, comme la somme de ses éléments diagonaux : $$ tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$ Proposition : Propriétés…