Méthodes

Trouver une base de l’image d’une application linéaire Trouver une Base de l’Image d’une Application Linéaire L’image d’une application linéaire $f: E \to F$, notée $\text{Im}(f)$, est l’ensemble de toutes les valeurs que $f$ peut prendre. C’est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée $F$. Trouver une base de $\text{Im}(f)$ revient à trouver une famille de…

Déterminer la base et la dimension de la somme de deux sous-espaces Déterminer la Base et la Dimension de la Somme de Deux Sous-Espaces La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F+G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui peuvent s’écrire comme la somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de…

Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels Comment trouver l’intersection de deux sous-espaces vectoriels L’intersection de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$, notée $F \cap G$, est l’ensemble de tous les vecteurs qui appartiennent à la fois à $F$ et à $G$. Le résultat de cette intersection est toujours un sous-espace vectoriel. La méthode pour…

Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Montrer qu’une famille de vecteurs est liée Une famille de vecteurs est dite liée (ou linéairement dépendante) si au moins un des vecteurs de la famille est « redondant », c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. C’est le contraire d’une famille libre. Démontrer qu’une famille est…

Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Déterminer une base à partir d’une famille génératrice Une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel $F$ est une collection de vecteurs qui permet de « construire » tous les autres vecteurs de $F$. Cependant, cette famille peut contenir des redondances (des vecteurs qui sont des combinaisons linéaires des autres). Pour…

Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Comment vérifier qu’une matrice est orthogonale Une matrice orthogonale est une matrice carrée qui représente une isométrie, c’est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et les angles (comme les rotations ou les réflexions). Elles sont fondamentales en géométrie, en infographie et en physique. Heureusement, il existe des critères très…

Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint) Un endomorphisme symétrique (ou autoadjoint) est une transformation linéaire qui préserve la structure géométrique d’un espace euclidien d’une manière très spéciale. Leur propriété la plus célèbre est qu’ils sont toujours diagonalisables dans une base orthonormale. Mais comment les identifier à coup sûr ? La Méthode…

Trouver la Matrice d’une Projection Orthogonale Comment trouver la matrice d’une projection orthogonale La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est une application linéaire. Comme toute application linéaire, elle peut être représentée par une matrice de projection, notée $P_F$. Cette matrice permet de calculer la projection de n’importe quel vecteur $v$ par un simple produit…

Calculer la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace Calculer la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace La projection orthogonale d’un vecteur $v$ sur un sous-espace $F$ est, intuitivement, l’ »ombre » de $v$ sur $F$. Plus formellement, c’est le vecteur de $F$ qui est le plus proche de $v$. Ce concept est fondamental pour la…

Comment trouver le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace Comment trouver le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace En algèbre linéaire, le concept de supplémentaire orthogonal est crucial. Si vous avez un sous-espace $F$, son supplémentaire orthogonal $F^\perp$ (lire ‘F perp’ ou ‘F orthogonal’) est l’ensemble de tous les vecteurs qui sont perpendiculaires à TOUS les vecteurs de $F$….