Théorèmes

Théorème des Quatre Carrés de Lagrange Contexte : Sommes de Carrés En théorie des nombres, un problème classique est de déterminer si un entier peut être écrit comme la somme de carrés d’autres entiers. Certains entiers sont des sommes de deux carrés (ex: $5 = 1^2 + 2^2$, $13 = 2^2 + 3^2$), mais beaucoup…

Théorème de Wilson Contexte : Arithmétique Modulaire et Factorielles Ce théorème utilise la notion de congruence modulo n ($a \equiv b \pmod{n}$), qui signifie que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$. Il fait également intervenir la factorielle d’un entier $k$, notée $k!$, qui est le produit de tous les…

Théorème des Nombres Premiers Contexte : La Fonction de Comptage des Nombres Premiers En théorie des nombres, on s’intéresse à la distribution des nombres premiers. Pour cela, on définit la fonction de comptage des nombres premiers, notée $\pi(x)$, qui donne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel $x$. $\pi(10) = 4$ (les…

Théorème des Restes Chinois Contexte : Systèmes de Congruences En arithmétique modulaire, on s’intéresse souvent à trouver un entier $x$ qui satisfait simultanément plusieurs équations de congruence. Un tel ensemble d’équations est appelé un système de congruences. Le théorème des restes chinois fournit une condition d’existence et d’unicité pour la solution d’un tel système, ainsi…

Théorème d’Euler Contexte : L’Indicateur d’Euler (Fonction Totient) Pour un entier $n \ge 1$, l’indicateur d’Euler, noté $\varphi(n)$, est une fonction qui compte le nombre d’entiers naturels compris entre 1 et $n$ qui sont premiers avec n (c’est-à-dire dont le plus grand commun diviseur avec $n$ est 1). Exemple : Pour $n=10$, les nombres premiers…

Petit Théorème de Fermat Contexte : Arithmétique Modulaire L’arithmétique modulaire s’intéresse aux restes de la division euclidienne. On dit que deux entiers $a$ et $b$ sont congrus modulo n, et on note $a \equiv b \pmod{n}$, si $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$. Cela équivaut à dire que leur…

Théorème de la Forme Normale de Skolem Contexte : Forme Prénexe et Équisatisfiabilité En logique du premier ordre, on cherche souvent à simplifier la structure des formules. Forme Normale Prénexe : Une formule est en forme prénexe si tous ses quantificateurs ($\forall, \exists$) sont regroupés au début de la formule. Toute formule peut être transformée…

L’Hypothèse du Continu et son Indécidabilité Contexte : Les Différentes Tailles de l’Infini À la fin du XIXe siècle, Georg Cantor a révolutionné notre compréhension de l’infini en montrant qu’il n’y avait pas une seule, mais plusieurs « tailles » d’ensembles infinis. L’infini dénombrable est la « taille » de l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$. Sa cardinalité est notée…

Théorème de Hartogs Contexte : Holomorphie à Plusieurs Variables En analyse complexe, une fonction d’une variable $f(z)$ est dite holomorphe si elle est dérivable au sens complexe. Pour une fonction de plusieurs variables complexes, $f(z_1, \dots, z_n)$, on peut distinguer deux notions de dérivabilité : Holomorphie (conjointe) : La fonction est « dérivable au sens complexe »…

Principe du Bon Ordre Contexte : Ensembles Bien Ordonnés Pour comprendre ce principe, il faut d’abord définir ce qu’est un bon ordre. Un ensemble $(E, \le)$ est dit bien ordonné si c’est un ensemble totalement ordonné (deux éléments sont toujours comparables) dans lequel tout sous-ensemble non vide possède un plus petit élément. L’ensemble des entiers…