Théorèmes

Théorème d’Apollonius (Théorème de la médiane) Contexte : La Médiane d’un Triangle Le théorème d’Apollonius, ou théorème de la médiane, est une relation métrique qui relie la longueur d’une médiane d’un triangle aux longueurs des trois côtés de ce triangle. Une médiane d’un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté…

Théorème de Desargues Contexte : Triangles en Perspective Le théorème de Desargues relie deux manières différentes pour deux triangles d’être « en perspective ». Deux triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont dits en perspective par rapport à un point (ou homologiques) si les droites joignant les sommets correspondants $(AA’)$, $(BB’)$ et $(CC’)$ sont concourantes en un même point…

Théorème de Pascal Contexte : L’Hexagone Mystique Le théorème de Pascal est un résultat fondamental de la géométrie projective qui concerne un hexagone inscrit dans une conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole). Un hexagone inscrit est simplement une suite de six points A, B, C, D, E, F qui se trouvent sur la conique. L’hexagone…

Théorème de Ménélaüs Contexte : Transversale et Alignement Alors que le théorème de Ceva donne une condition pour que trois droites (les céviennes) soient concourantes, le théorème de Ménélaüs donne une condition pour que trois points soient alignés. On considère un triangle $ABC$. Une droite $(d)$, appelée transversale, coupe les droites qui portent les côtés…

Théorème de Ceva Contexte : Céviennes et Concourance Le théorème de Ceva s’intéresse à la question de la concourance de trois droites particulières dans un triangle. Une cévienne d’un triangle est un segment de droite qui relie un sommet du triangle à un point du côté opposé. Les médianes, les hauteurs, les bissectrices sont des…

Théorème de Thalès Contexte : Configurations Géométriques Le théorème de Thalès s’applique à deux configurations géométriques principales : Configuration en triangle : Deux droites sécantes en un point $A$, et deux droites parallèles qui coupent les deux premières droites en des points $B, C$ et $B’, C’$ respectivement, formant deux triangles $ABC$ et $AB’C’$. Configuration…

Théorème de Ptolémée Contexte : Le Quadrilatère Inscriptible Le théorème de Ptolémée s’applique à une figure géométrique particulière : le quadrilatère inscriptible (ou cyclique). Un quadrilatère est dit inscriptible si ses quatre sommets se trouvent sur un même cercle, appelé cercle circonscrit. Une propriété caractéristique de ces quadrilatères est que leurs angles opposés sont supplémentaires…

Théorème de l’Angle au Centre Contexte : Angles dans un Cercle Ce théorème établit une relation simple et puissante entre deux types d’angles associés à un même arc de cercle. Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont deux rayons. Un angle inscrit…

Théorème de Gelfand-Naimark Contexte : C*-algèbres Pour comprendre ce théorème, il faut définir la structure centrale qu’il classifie. Une C*-algèbre (prononcer « C étoile algèbre ») est une structure qui combine l’algèbre et l’analyse. C’est une algèbre de Banach $A$ sur le corps des nombres complexes, munie d’une opération supplémentaire appelée involution (notée $x \mapsto x^*$) qui…

Théorème de Pythagore Contexte : Le Triangle Rectangle Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d’un triangle rectangle. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l’angle droit est le plus long et s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres…