Théorème Spectral pour les Opérateurs Compacts Contexte : De la Diagonalisation à la Décomposition Spectrale En algèbre linéaire, un résultat fondamental stipule que toute matrice symétrique (ou hermitienne) $A$ peut…
Théorème de Banach-Alaoglu Contexte : Dualité et Topologies Faibles Pour aborder ce théorème, il faut se placer dans le cadre de l'analyse fonctionnelle. Espace de Banach : Un espace vectoriel…
Théorème de Stone-Weierstrass Contexte : Densité et Approximation Le point de départ est le théorème d'approximation de Weierstrass (1885), qui affirme que toute fonction continue sur un segment $[a, b]$…
Théorème du Point Fixe de Banach Contexte : Points Fixes et Contractions Ce théorème donne des conditions suffisantes pour garantir l'existence et l'unicité d'un point fixe pour une certaine fonction.…
Théorème de Hahn-Banach Contexte : Le Problème du Prolongement La question fondamentale à laquelle répond le théorème de Hahn-Banach est la suivante : Étant donné une application linéaire (une "fonctionnelle")…
Inégalité de Hölder Contexte : Espaces Lp L'inégalité de Hölder est un outil central dans l'étude des espaces Lp. Pour un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et un réel $p…
Théorème du Graphe Fermé Contexte : Continuité et Graphe d'une Application Pour une application (ou opérateur) $T: X \to Y$, son graphe est un sous-ensemble de l'espace produit $X \times…
Théorème de Banach-Steinhaus Contexte : Familles d'Opérateurs Linéaires Ce théorème s'intéresse au comportement d'une collection (potentiellement infinie) d'applications linéaires continues, appelées opérateurs, entre deux espaces vectoriels normés. Un espace de…
Inégalité de Minkowski Contexte : Les Espaces $L^p$ et l'Inégalité Triangulaire L'inégalité de Minkowski est la généralisation de l'inégalité triangulaire aux espaces vectoriels normés, et plus spécifiquement aux espaces $L^p$.…
Théorèmes de Picard Contexte : Singularités Essentielles En analyse complexe, les singularités isolées d'une fonction holomorphe $f$ sont classées en trois types : Singularité Apparente (ou Éliminable) : La fonction…