Topologie

Le Théorème de Stokes : Relation entre Flux du Rotationnel et Circulation Le Théorème de Stokes Le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Kelvin-Stokes) est un résultat central de l’analyse vectorielle qui relie l’intégrale d’un champ de vecteurs le long d’une courbe fermée (sa circulation) à l’intégrale du rotationnel de ce champ sur n’importe…

Applications de la Formule de Green : Calcul d’Aires et de Circulations Applications de la Formule de Green-Riemann La formule de Green-Riemann, $\oint_\mathcal{C} P \,dx + Q \,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dA$, est bien plus qu’un résultat théorique. C’est un outil de calcul extrêmement polyvalent qui permet…

La Formule de Green-Riemann : Lien entre Intégrales Doubles et Curvilignes La Formule de Green-Riemann La formule de Green-Riemann (souvent appelée simplement théorème de Green dans le monde anglo-saxon) est un résultat spectaculaire qui établit un lien direct entre une intégrale double sur un domaine plan $D$ et une intégrale curviligne sur sa frontière (son…

Orientation d’une Surface : Vecteur Normal et Calcul de Flux Orientation d’une Surface Contrairement à l’intégrale d’un champ scalaire, le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface dépend crucialement de la manière dont on « traverse » cette surface. Cette notion de « sens de traversée » est formalisée par l’orientation de la surface. Orienter une surface,…

Flux d’un Champ de Vecteurs : Calcul, Définition et Théorème de Gauss Flux d’un Champ de Vecteurs L’intégrale de surface d’un champ de vecteurs est l’une des notions les plus importantes de l’analyse vectorielle, avec des applications profondes en physique. On ne l’appelle généralement pas « intégrale de surface », mais plutôt le flux du champ de…

Intégration sur une Surface : Champs Scalaires et Flux de Champs Vectoriels Intégration d’une Fonction sur une Surface L’intégration sur une surface est la généralisation de l’intégrale curviligne à une dimension supérieure. Elle permet de « sommer » une grandeur (scalaire ou vectorielle) sur une nappe de surface courbe. Tout comme pour les courbes, on distingue deux…

Paramétrisation d’une Surface : Méthode et Exemples (Sphère, Cylindre, Graphe) Paramétrisation d’une Nappe de Surface Tout comme une courbe est une déformation d’une ligne (un intervalle), une surface peut être vue comme une déformation d’une région plane. La paramétrisation est la fonction mathématique qui décrit cette déformation. Elle associe à chaque point d’un domaine plat…

L’Intégrale de Surface : Définition, Calcul de Flux et Applications Définition de l’Intégrale de Surface Tout comme l’intégrale curviligne étend l’intégration aux courbes, l’intégrale de surface étend l’intégration à des surfaces courbes dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Elle permet de « sommer » une quantité (scalaire ou vectorielle) sur une surface. On distingue deux types d’intégrales de surface, analogues…

Indépendance du Chemin : Champs Conservatifs et Potentiel Scalaire Indépendance du Chemin d’Intégration Pour une intégrale curviligne d’un champ de vecteurs, $\int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$, le résultat dépend en général de la courbe $\mathcal{C}$ suivie pour aller d’un point A à un point B. Cependant, pour une classe très importante de champs de vecteurs, les…

Circulation d’un Champ de Vecteurs : Calcul du Travail et Intégrales de Ligne Circulation d’un Champ de Vecteurs L’intégrale curviligne d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ le long d’une courbe orientée $\mathcal{C}$ est appelée la circulation de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$. Cette notion est fondamentale en physique, où elle représente le travail d’un champ de…