Apprendre le Parallélogramme : Cours et Démonstrations
L’étude géométrique débute souvent par cette notion capitale. Cette série d’exercices de mathématiques est conçue pour le niveau 6ème (France, Afrique francophone), 1ère secondaire (Belgique, Québec) et 1ère AM (Algérie, Maroc, Tunisie), correspondant au programme de première année de collège dans tous les pays francophones. En effet, sa bonne compréhension ouvre la porte aux démonstrations plus complexes. Ainsi, il faut s’entraîner méthodiquement. Par conséquent, chaque bloc ci-dessous a été pensé pour vous faire progresser pas à pas.
Définition d’un parallélogramme
Tout d’abord, une question primordiale : qu’est-ce qu’un parallélogramme ? Simplement, c’est une figure géométrique à quatre côtés, appelée quadrilatère. De plus, la définition d’un parallélogramme impose que ses côtés opposés soient parallèles deux à deux. Ainsi, l’existence formelle de côtés parallèles est le critère absolu qui le définit. D’ailleurs, vous pouvez lire des informations complémentaires sur la page Wikipédia dédiée à cette figure mathématique.
Calculs et Propriétés des parallélogrammes
Ensuite, les élèves demandent fréquemment comment calculer l’aire d’un parallélogramme. Or, l’aire du parallélogramme s’obtient facilement en multipliant la longueur de la base par la hauteur qui lui correspond ($A = b \times h$). Par ailleurs, la formule du périmètre d’un parallélogramme consiste à additionner le double de ses côtés consécutifs ($P = 2 \times (a + b)$). De surcroît, chaque propriété d’un parallélogramme permet de résoudre des énigmes visuelles : par exemple, la présence d’angles opposés égaux, ou encore l’existence de diagonales qui se coupent en leur milieu.
Pratique : Exercices sur le Parallélogramme
Désormais, passons aux exercices d’application directe. Effectivement, vous trouverez ci-dessous des constructions géométriques variées. Néanmoins, n’oubliez pas d’utiliser vos formules et vos théorèmes pour justifier chaque réponse. Puis, vérifiez vos démarches avec les corrections détaillées.
Exercice 1 : Calcul d’angles
$ABCD$ est un parallélogramme tel que l’angle $\widehat{BAD} = 67^\circ$. Calculez la mesure exacte de l’angle $\widehat{CBA}$.
Corrigé de l’exercice 1 : Parallélogramme
Données : $ABCD$ est un parallélogramme et $\widehat{BAD} = 67^\circ$.
Propriété d’un parallélogramme : En effet, dans cette figure, deux angles consécutifs sont toujours supplémentaires (la somme de leurs mesures vaut $180^\circ$).
Conclusion : Ainsi, on calcule $\widehat{CBA} = 180^\circ – \widehat{BAD} = 180^\circ – 67^\circ = 113^\circ$.
Exercice 2 : Propriétés des côtés
$TUVW$ est un parallélogramme tel que la longueur $UV = 6$ cm. Quelle est la longueur précise du segment $[WT]$ ?
Corrigé de l’exercice 2 : Parallélogramme
Données : $TUVW$ est un parallélogramme et $UV = 6$ cm.
Propriété étudiée : De plus, nous savons que dans ce polygone, les côtés opposés possèdent obligatoirement la même longueur.
Conclusion : Par conséquent, le côté $[WT]$ étant fermement opposé au côté $[UV]$, on en déduit que $WT = UV = 6$ cm.
Exercice 3 : L’intersection des diagonales
$MNOP$ est un parallélogramme de centre $R$. On sait que la distance $RO = 6$ cm. Calculez la longueur totale de la diagonale $[RM]$ ? (Attention au piège de notation, l’énoncé demande de justifier $[RM]$ ou $[MO]$).
Corrigé de l’exercice 3 : Parallélogramme
Données : $MNOP$ est un parallélogramme de centre $R$ et $RO = 6$ cm.
Propriétés des parallélogrammes : Cependant, la règle est stricte, une figure de ce type possède des diagonales qui se coupent en leur milieu.
Conclusion : Ainsi, $R$ est le milieu incontestable de $[MO]$. Donc, le segment $[RM]$ mesure bien $RM = RO = 6$ cm (la diagonale entière $[MO]$ mesurant $12$ cm).
Exercice 4 : Démontrer avec les diagonales
$IJKL$ est un quadrilatère dont les diagonales se croisent au point $M$. On sait que $IM = KM$ et que $JM = LM$. Démontrez formellement que $IJKL$ est bien un parallélogramme.
Corrigé de l’exercice 4 : Parallélogramme
Données de départ : $IJKL$ est un quadrilatère. Ses diagonales $[IK]$ et $[JL]$ se coupent en $M$. L’énoncé précise que $IM = KM$ et $JM = LM$.
Théorème utilisé : Par ailleurs, si une figure géométrique (quadrilatère) a ses diagonales qui se coupent parfaitement en leur milieu, alors elle revêt la définition d’un parallélogramme.
Conclusion : En conclusion, $IJKL$ est officiellement un parallélogramme.
Exercice 5 : Démontrer avec les côtés opposés
$VERT$ est un quadrilatère non croisé tel que $RT = VE$ et $VT = RE$. Démontrez que le quadrilatère $VERT$ est un parallélogramme.
Corrigé de l’exercice 5 : Parallélogramme
Données du problème : $VERT$ est un quadrilatère non croisé. Ses côtés opposés sont groupés ainsi : $[VE]$ et $[RT]$, puis $[VT]$ et $[RE]$. Les égalités sont $VE = RT$ et $VT = RE$.
Propriété requise : De même, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés qui sont deux à deux de la même longueur, alors c’est inévitablement un parallélogramme.
Conclusion finale : Par conséquent, on atteste que $VERT$ est un parallélogramme.
Exercice 6 : Démonstration en deux étapes (1)
$STUV$ est un quadrilatère dont les diagonales s’intersectent en $W$, tel que $SW = UW$ et $TW = VW$. On donne $UV = 11$ cm. Calculez la valeur de la distance $ST$.
Corrigé de l’exercice 6 : Parallélogramme
Étape 1 : Tout d’abord, on sait que les diagonales de $STUV$ se coupent en leur milieu exact $W$. Or, si un quadrilatère possède de telles diagonales qui se coupent en leur milieu, il acquiert le statut de parallélogramme. Donc, $STUV$ est un parallélogramme.
Étape 2 : Ensuite, on sait que $STUV$ est établi comme un parallélogramme, et que la mesure de $UV = 11$ cm. De surcroît, les côtés opposés d’un parallélogramme affichent systématiquement la même longueur. Finalement, $ST = UV = 11$ cm.
Exercice 7 : Démonstration en deux étapes (2)
$PAUL$ est un quadrilatère non croisé tel que $PA = UL$ et $PL = AU$. On donne $KU = 4$ cm, sachant que $K$ est le point d’intersection central des diagonales. Calculez la mesure totale de $[PU]$.
Corrigé de l’exercice 7 : Parallélogramme
Première Étape : Pour commencer, on sait que $PAUL$ est un quadrilatère non croisé arborant des côtés opposés d’identique longueur ($PA = UL$ et $PL = AU$). Donc, le polygone $PAUL$ est formellement un parallélogramme.
Seconde Étape : Par ailleurs, on admet que $PAUL$ est un parallélogramme et que ses diagonales se réunissent en $K$. Or, la règle d’or dicte que les diagonales d’un tel polygone se coupent précisément en leur milieu. Donc, le point $K$ est le milieu du segment $[PU]$. Par conséquent, $PU = 2 \times KU = 2 \times 4 = 8$ cm.
Foire Aux Questions : Tout savoir sur le Parallélogramme
Qu’est-ce qu’un parallélogramme rectangle ?
En effet, un parallélogramme rectangle n’est autre que l’appellation mathématique classique du rectangle commun. Ainsi, dès qu’un parallélogramme se dote d’un angle droit, ses autres angles se redressent automatiquement, créant une figure parfaite aux sommets orthogonaux.
L’aire et le périmètre sont-ils liés ?
Cependant, il ne faut surtout pas mélanger ces deux notions. La formule du périmètre d’un parallélogramme évalue uniquement la bordure extérieure de la figure. À l’inverse, comprendre comment calculer l’aire d’un parallélogramme permet d’évaluer la surface totale occupée à l’intérieur des côtés parallèles.
Pour aller plus loin sur Le Parallélogramme
Finalement, si vous souhaitez exceller lors de vos prochaines évaluations et maîtriser chaque propriété d’un parallélogramme, nous vous invitons à consulter nos supports complets ci-dessous.