Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $\beta$ et $\beta’$ deux bases de $E$, et $f$ une forme bilinéaire sur $E$. Notons $A$ la matrice de $f$ dans la base $\beta$, et $B$ la matrice de $f$ dans la base $\beta’$.
Si $P$ est la matrice de passage de la base $\beta$ à la base $\beta’$, alors la relation entre les matrices $A$ et $B$ est donnée par la formule de congruence : $$ B = {}^t P A P $$
Démonstration
Utilisons l’écriture matricielle de la forme bilinéaire. Soient $x, y$ deux vecteurs de $E$. Notons $X$ et $Y$ leurs vecteurs colonnes de coordonnées dans la base « ancienne » $\beta$, et $X’$ et $Y’$ leurs coordonnées dans la base « nouvelle » $\beta’$.
L’expression de $f(x,y)$ peut s’écrire de deux manières : $$ f(x,y) = {}^t X A Y \quad (\text{dans la base } \beta) $$ $$ f(x,y) = {}^t X’ B Y’ \quad (\text{dans la base } \beta’) $$ La formule de changement de coordonnées pour les vecteurs nous dit que $X = PX’$ et $Y = PY’$. En substituant ces relations dans la première expression de $f(x,y)$, nous obtenons : $$ f(x,y) = {}^t(PX’) A (PY’) $$ En utilisant la propriété de la transposée d’un produit, ${}^t(PX’) = {}^tX’ {}^tP$, il vient : $$ f(x,y) = {}^tX’ ({}^tP A P) Y’ $$ En comparant cette expression avec la seconde, $f(x,y) = {}^tX’ B Y’$, on voit que les deux égalités doivent être vraies pour tous les vecteurs $X’$ et $Y’$. Par unicité de la matrice d’une forme bilinéaire dans une base donnée, on en déduit nécessairement l’égalité des matrices : $$ B = {}^t P A P $$