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Intégrales généralisées de fonctions à signe constant : critères de convergence

    L’étude de la convergence pour les intégrales de fonctions à signe constant (positif ou négatif) est simplifiée. On se concentrera sur le cas des fonctions positives, le cas des fonctions négatives s’en déduisant immédiatement.

    Critère de la Convergence Majorée

    Proposition

    Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.

    Critère de Cauchy

    Proposition

    Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists c \in [a,b[ \text{ tel que } \forall x,y \in [c,b], \quad \left| \int_x^y f(t)dt \right| \le \epsilon $$

    Critère de Comparaison

    Proposition

    Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. S’il existe une constante $M > 0$ telle que $f(x) \le M g(x)$ pour tout $x \in [a,b[$, alors :

    • Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge.
    • Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.

    Critère de Négligeabilité

    Proposition

    Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues, avec $g$ de signe constant. Si $f(t) = O(g(t))$ (en particulier si $f(t)=o(g(t))$) au voisinage de $b$, alors :

    Si l’intégrale $\int_a^b g(t)dt$ est convergente, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ l’est aussi.

    Critère d’Équivalence

    Proposition

    Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. Si $f(x) \sim_b g(x)$ (c’est-à-dire $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$), alors les intégrales $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature (soit toutes deux convergentes, soit toutes deux divergentes).

    Intégrales de Référence

    Intégrales de Riemann

    • L’intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
    • L’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.

    Intégrales de Bertrand

    • L’intégrale $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha (\ln x)^\beta}dx$ (avec $a>1$) converge si et seulement si ($\alpha > 1$) ou ($\alpha=1$ et $\beta > 1$).
    • L’intégrale $\int_0^a \frac{1}{x^\alpha |\ln x|^\beta}dx$ (avec $0 1$).

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