L’étude de la convergence pour les intégrales de fonctions à signe constant (positif ou négatif) est simplifiée. On se concentrera sur le cas des fonctions positives, le cas des fonctions négatives s’en déduisant immédiatement.
Critère de la Convergence Majorée
Proposition
Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.
Critère de Cauchy
Proposition
Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists c \in [a,b[ \text{ tel que } \forall x,y \in [c,b], \quad \left| \int_x^y f(t)dt \right| \le \epsilon $$
Critère de Comparaison
Proposition
Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. S’il existe une constante $M > 0$ telle que $f(x) \le M g(x)$ pour tout $x \in [a,b[$, alors :
- Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge.
- Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.
Critère de Négligeabilité
Proposition
Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues, avec $g$ de signe constant. Si $f(t) = O(g(t))$ (en particulier si $f(t)=o(g(t))$) au voisinage de $b$, alors :
Si l’intégrale $\int_a^b g(t)dt$ est convergente, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ l’est aussi.
Critère d’Équivalence
Proposition
Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. Si $f(x) \sim_b g(x)$ (c’est-à-dire $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$), alors les intégrales $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature (soit toutes deux convergentes, soit toutes deux divergentes).
Intégrales de Référence
Intégrales de Riemann
- L’intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
- L’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.
Intégrales de Bertrand
- L’intégrale $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha (\ln x)^\beta}dx$ (avec $a>1$) converge si et seulement si ($\alpha > 1$) ou ($\alpha=1$ et $\beta > 1$).
- L’intégrale $\int_0^a \frac{1}{x^\alpha |\ln x|^\beta}dx$ (avec $0
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