Auteur/autrice : zu6vi

Calcul Pratique des Intégrales Généralisées Utilisation des Primitives Définition Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a, b[$ et $F$ une de ses primitives. L’intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si les limites de $F(x)$ aux bornes $a$ et $b$ existent et sont finies : $$ \lim_{x \to a^+} F(x) \quad…

Intégrales Généralisées : Définitions et Propriétés Définitions Définition : Fonction Localement Intégrable Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $]a, b[$. On dit que $f$ est localement intégrable sur $]a, b[$ si elle est intégrable au sens de Riemann sur tout intervalle fermé borné $[\alpha, \beta]$ inclus dans $]a, b[$. Remarque : Toute…

Intégration des Fonctions Rationnelles et Applications Intégrale des Fonctions Rationnelles Pour intégrer une fonction rationnelle $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la stratégie consiste à la décomposer en une somme d’éléments simples. L’intégration se ramène alors au calcul de primitives pour chaque élément de la décomposition. Calcul de $\int \frac{dx}{(x-a)^n}$ Pour les éléments de première espèce (pôles réels)…

Intégration par Changement de Variables Théorème : Intégration par Changement de Variable Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a,b]$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$ La transformation $x = \varphi(t)$ est appelée un changement…

Intégration par Parties Théorème : Intégration par Parties Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ (continûment dérivables) sur un segment $[a, b]$. Alors, on a la formule suivante : $$ \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)dx $$ Démonstration La formule de dérivation d’un produit nous donne $(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. En…

Primitives des Fonctions Usuelles Rappelons que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$. L’intégrale de $f$ sur un segment $[a,b] \subset I$ est alors donnée par : $$ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a) $$ Formulaire de Primitives Usuelles Dans les formules suivantes, $u$…

Intégrale Indéfinie et Primitive Définition : Intégrale Indéfinie Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $t_0$ un point fixé dans $[a, b]$. On appelle intégrale indéfinie de $f$ la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par : $$ F(t) = \int_{t_0}^{t} f(x)dx $$ Remarque Deux intégrales indéfinies de la même fonction $f$ ne…

Propriétés de l’Intégrale de Riemann Relation de Chasles Proposition : Relation de Chasles Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $c$ un point de l’intervalle $]a, b[$. Alors, $f$ est intégrable sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$, et on a : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx $$…

Fonctions Intégrables au Sens de Riemann Construction de l’intégrale d’une fonction bornée Définition : Fonction Intégrable au Sens de Riemann Une fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est dite intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ sur $[a,b]$ telles que :…

Intégrale des Fonctions en Escalier Définition : Subdivision d’un Intervalle On appelle subdivision d’un intervalle $[a, b]$, toute suite finie et strictement croissante de points $\sigma = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ telle que : $$ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b $$ Le pas de la subdivision est le nombre...