Définition : Convergence Absolue Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On dit que l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente si l’intégrale de sa valeur absolue, $\int_a^b |f(t)|dt$, est convergente. Théorème : Convergence Absolue…
L’étude de la convergence pour les intégrales de fonctions à signe constant (positif ou négatif) est simplifiée. On se concentrera sur le cas des fonctions positives, le cas des fonctions négatives s’en déduisant immédiatement. Critère…
Utilisation des Primitives Définition Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a, b[$ et $F$ une de ses primitives. L’intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si les limites de $F(x)$ aux…
Définitions Définition : Fonction Localement Intégrable Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $]a, b[$. On dit que $f$ est localement intégrable sur $]a, b[$ si elle est intégrable au sens de Riemann…
Intégration des Fonctions Rationnelles et Applications Intégrale des Fonctions Rationnelles Pour intégrer une fonction rationnelle $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la stratégie consiste à la décomposer en une somme d’éléments simples. L’intégration se ramène alors au calcul…
Théorème : Intégration par Changement de Variable Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a,b]$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors : $$…
Théorème : Intégration par Parties Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ (continûment dérivables) sur un segment $[a, b]$. Alors, on a la formule suivante : $$ \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b…
Rappelons que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$. L’intégrale de $f$ sur un segment $[a,b] \subset I$ est alors donnée par : $$ \int_a^b f(x)dx…
Définition : Intégrale Indéfinie Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $t_0$ un point fixé dans $[a, b]$. On appelle intégrale indéfinie de $f$ la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par :…
Propriétés de l’Intégrale de Riemann Relation de Chasles Proposition : Relation de Chasles Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $c$ un point de l’intervalle $]a, b[$. Alors, $f$ est intégrable sur…