Auteur/autrice : zu6vi

Opérations Avancées sur les Développements Limités Intégration d’un Développement Limité Si une fonction $f$ est dérivable sur un voisinage de zéro et si sa dérivée $f’$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage de zéro, de partie principale $P(x)$, alors la fonction $f$ admet un D.L. d’ordre $n+1$ au voisinage de zéro. La…

Opérations sur les Développements Limités Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des développements limités (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage de 0 : $$ f(x) = P(x) + x^n\epsilon_1(x) $$ $$ g(x) = Q(x) + x^n\epsilon_2(x) $$ où $P(x)$ et $Q(x)$ sont les parties principales (polynômes de degré au plus $n$). Développement Limité d’une Somme…

Développements Limités Usuels Développements Limités Usuels au Voisinage de 0 Les développements limités suivants, obtenus par la formule de Taylor-Maclaurin, sont fondamentaux pour les calculs de limites et d’équivalents. Dans toutes les formules, $\epsilon(x)$ désigne une fonction telle que $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots +…

Développements Limités Définition : Développement Limité Soient $f$ une fonction définie au voisinage de zéro (sauf peut-être en 0) et $n \in \mathbb{N}^*$. On dit que $f$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre n au voisinage de zéro s’il existe un polynôme $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ de degré au plus…

Applications de la Formule de Taylor Calcul Approché des Valeurs d’une Fonction Si une fonction $f$ vérifie les conditions d’application de la formule de Taylor-Lagrange sur $[x_0, x_0+h]$, on a : $$ f(x_0+h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}h^{n+1} $$ On peut alors utiliser le polynôme de Taylor comme valeur approchée de $f(x_0+h)$. Si l’on peut…

Formules de Taylor Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point. Formule de Taylor-Lagrange Soit $f$ une fonction de classe $C^{n-1}$ sur un segment $[a,b]$ et dont la dérivée $n$-ième, $f^{(n)}$, existe sur…

Fonctions Équivalentes Définition : Infiniment Petit et Infiniment Grand Une fonction $f$ est un infiniment petit au voisinage de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$. Une fonction $f$ est un infiniment grand au voisinage de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$. Définition : Fonctions Équivalentes Soient $f$ et $g$ deux fonctions…

Fonctions Circulaires Réciproques : Arctangente et Arccotangente Fonction Arc Tangente La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ouvert $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée Arc tangente et est notée $\arctan$. Définition : Fonction Arctangente La fonction $\arctan$ est définie…

Fonctions Circulaires Réciproques : Arccosinus et Arcsinus Fonction Arc Cosinus La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0, \pi]$. Elle réalise donc une bijection de $[0, \pi]$ sur l’intervalle image $[-1, 1]$. Sa fonction réciproque est appelée Arc cosinus et est notée $\arccos$. Définition : Fonction Arccosinus La fonction $\arccos$ est définie…

Étude des Fonctions Circulaires Fonction Cosinus La fonction $x \mapsto \cos x$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est paire et périodique de période $2\pi$. De plus, la relation $\cos(\pi-x) = -\cos x$ implique une symétrie par rapport au point $(\pi/2, 0)$. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle $I = [0, \pi/2]$….