Auteur/autrice : zu6vi

Dérivées Successives, Classe C^p et Extremums Dérivées Successives Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Sa fonction dérivée $f’$ est elle-même une fonction. Si $f’$ est à son tour dérivable sur $I$, on note sa dérivée $f »$ ou $f^{(2)}$, appelée dérivée seconde de $f$. De manière générale, pour $n \in \mathbb{N}^*$, si…

Dérivée des Fonctions Composées et Réciproques Dérivée d’une fonction composée Proposition : Règle de Dérivation en Chaîne Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0$, et $g$ une fonction définie sur un voisinage $J$ de $f(x_0)$. Si $f$ est dérivable au point $x_0$ et si $g$ est dérivable au point $f(x_0)$,…

Dérivée, Interprétation Géométrique et Opérations Dérivée d’une fonction Définition : Dérivée en un Point Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $I$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite du taux d’accroissement de $f$ entre $x$ et $x_0$ existe et est finie : $$ \lim_{x…

Propriétés des Fonctions Monotones et Réciproques Théorème : Monotonie Stricte et Injectivité Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est strictement monotone sur $I$, alors $f$ est injective sur $I$. Théorème de la Bijection Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$…

Fonctions Réciproques et Rappels sur les Bijections Rappels : Injection, Surjection, Bijection Soit $f: E \to F$ une fonction entre deux parties de $\mathbb{R}$. $f$ est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ a au plus un antécédent dans $E$. Formellement : $$ \forall x, x’ \in E, \quad f(x) = f(x’) \implies x…

Fonctions Continues sur un Intervalle Définition : Continuité sur un Intervalle Une fonction définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur I si elle est continue en tout point de cet intervalle. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous points $a, b$ de $I$, et…

Prolongement par Continuité Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$. Si un point $x_0$ n’appartient pas à $D_f$ mais que $f$ admet une limite finie $l$ en $x_0$, on peut « combler le trou » dans la définition de $f$. Définition : Prolongement par Continuité On définit la fonction $g$ par : $$ g(x) =…

Fonctions Continues et Continuité en un Point Définition : Continuité en un Point Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $V$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si elle admet une limite finie en ce point et si cette limite est égale à la valeur de la…

Limites de Fonctions et Opérations Limites Limite Finie en un Point Soient $x_0 \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur un voisinage de $x_0$ (sauf peut-être en $x_0$ même). On dit que $f$ a pour limite le réel $l$ au point $x_0$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{…

Opérations sur les Fonctions Somme et Produit de Deux Fonctions Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles, on définit leur somme $s=f+g$ et leur produit $p=f \times g$ par : $s(x) = f(x) + g(x)$ $p(x) = f(x) \times g(x)$ Le domaine de définition de $s$ et $p$ est l’intersection des domaines de $f$…