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Propriétés des Ensembles Fermés Propriétés des Ensembles Fermés Les propriétés des ensembles fermés se déduisent directement de celles des ouverts en utilisant les lois de De Morgan sur le passage au complémentaire. Elles constituent une vision « duale » des axiomes de la topologie. Proposition : Propriétés Fondamentales des Fermés Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. La…
Propriétés des Ensembles Ouverts Rappel des Axiomes de la Topologie Les propriétés fondamentales des ensembles ouverts découlent directement des trois axiomes qui définissent une topologie $\mathcal{T}$ sur un ensemble $X$. Ces axiomes ne sont pas des conséquences, mais bien le point de départ de toute la théorie. Ils constituent la « règle du jeu » que les…
Définition d’un Espace Topologique Introduction à la Notion de Topologie En mathématiques, la notion d’espace topologique est une généralisation de celle d’espace métrique. L’idée est de définir une structure sur un ensemble qui permet de parler de concepts tels que la continuité, la limite et le voisinage, sans pour autant avoir besoin de définir une…
Calculer une Intégrale Généralisée Convergente Une intégrale généralisée (ou impropre) est une extension de l’intégrale définie aux cas où : L’intervalle d’intégration est infini (ex: $[a, +\infty)$). La fonction à intégrer n’est pas définie ou n’est pas bornée à l’une des bornes de l’intervalle. Le calcul de sa valeur, si elle existe, passe systématiquement par…
Comment Étudier la Convergence d’une Intégrale Généralisée Comment Étudier la Convergence d’une Intégrale Généralisée Une intégrale est dite généralisée (ou impropre) si au moins une de ses bornes est infinie, ou si la fonction à intégrer n’est pas définie (et tend vers l’infini) en une borne. On ne peut pas la calculer directement ; il…
Comment Calculer une Intégrale par Symétrie Comment Calculer une Intégrale par Symétrie Utiliser la symétrie est une technique puissante qui ne s’applique que dans un cas précis : lorsque l’on intègre une fonction sur un intervalle centré en 0, c’est-à-dire un intervalle de la forme $[-a, a]$. La méthode repose sur la parité de la…
Comment Calculer la Valeur Moyenne d’une Fonction Comment Calculer la Valeur Moyenne d’une Fonction La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est la hauteur d’un rectangle qui aurait la même aire que l’aire sous la courbe de la fonction sur ce même intervalle. C’est une notion fondamentale en calcul intégral….
Calculer une Intégrale par Intégration par Parties (IPP) L’intégration par parties (IPP) est l’analogue de la dérivation d’un produit pour le calcul intégral. C’est la méthode de choix lorsque l’on doit intégrer un produit de fonctions, comme un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Formule de l’Intégration par Parties Soient $u$ et…
Calculer une Intégrale par Intégration par Parties (IPP) L’intégration par parties (IPP) est l’analogue de la dérivation d’un produit pour le calcul intégral. C’est la méthode de choix lorsque l’on doit intégrer un produit de fonctions, comme un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Formule de l’Intégration par Parties Soient $u$ et…
Comment Trouver le DL d’un Produit de Fonctions Pour trouver le développement limité (DL) d’un produit de deux fonctions $f(x) \cdot g(x)$, il ne faut surtout pas multiplier les DL complets avec les termes $o(x^n)$. La méthode consiste à ne travailler qu’avec les parties polynomiales. La Règle du Produit Si les DL de $f$ et…