Trace d’une matrice carrée
Trace d’une Matrice Carrée Définition : Trace d’une Matrice Carrée Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée à coefficients dans $K$. On définit la trace de…
Matrices de transvection – Matrices de dilatation Génération de $\mathbf{G L}_n(\mathbb{K})$
Matrices de Transvection, Dilatation et Génération de GLn(K) On désigne par $GL_n(\mathbb{K})$ (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) le groupe des matrices inversibles d’ordre $n$, appelé groupe linéaire. Son sous-groupe des matrices de déterminant 1 est noté…
Matrices élémentaires
Matrices Élémentaires Définition : Matrices Élémentaires Soit $K$ un corps commutatif. Pour chaque couple d’indices $(i,j)$ tel que $1 \le i \le m$ et $1 \le j \le n$, on définit la matrice élémentaire $E_{ij}$…
Opérations sur les matrices
Définition : Matrice Soit $K$ un corps commutatif. Une matrice à coefficients dans $K$ est un arrangement rectangulaire d’éléments de $K$, organisé en lignes et en colonnes. Formellement, il s’agit d’une suite double finie $(a_{ij})_{1…
Affinités – Dilatations – Transvections
Affinités, Dilatations et Transvections Définition : Affinité Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$), et $\lambda \in K$ un scalaire. On appelle affinité de base $F$,…
Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel
Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel Définition : Symétrie Vectorielle Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$). La symétrie par…
Projection sur un sous-espace vectoriel – Projecteurs
Définition : Projection et Projecteur Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$). On appelle projection sur F…
Endomorphismes – Automorphismes
Endomorphismes et Automorphismes Définition : Endomorphismes et Automorphismes Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application linéaire de $E$ dans lui-même ($u: E \to E$) est appelée un endomorphisme de $E$. Un endomorphisme qui est également…
Décomposition canonique – Théorème du rang
Théorème : Décomposition Canonique Soit $f: E \to F$ une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Il existe un isomorphisme canonique unique, noté $\bar{f}$, qui relie l’espace quotient $E/Ker(f)$ à l’image $Im(f)$. Cette relation s’inscrit…
Noyau et image d’une application linéaire
Proposition : Noyau et Image Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels et $f: E \to F$ une application linéaire. L’image par $f$ de tout sous-espace vectoriel de $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$.…